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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:17 Mo 19.05.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | | Sei [mm]a \in \IR \backslash\{0\}[/mm] und [mm]f: \IR \to \IR[/mm] die [mm]2\pi[/mm]-periodische Funktion die auf [mm][0;2\pi)[/mm] durch [mm]f(x)=e^{ax}[/mm] definiert ist. Bestimmen Die die Fourier-Reihe von f und berechnen Sie [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a^2+k^2}[/mm] |
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Hi,
ich häng mal wieder bei der Fourier-Reihe fest. Bis jetzt hab ich folgendes:
-Da die Funktion periodisch ist, ist es egal welches Intervall ich betrachte und so schau ich mir [mm](-\pi; \pi)[/mm] an
-Da f eine gerade Funktion ist, werden alle [mm]b_k=0[/mm], somit berechne ich nur noch [mm]a_k[/mm]
[mm]\frac{1}{\pi}\int_{\-pi}^{\pi}{e^{ax}cos(ax)}dx[/mm]
[mm]\frac{1}{\pi}\int_{}^{}{e^{ax}(\frac{e^{ia}+ e{-ia}}{2})}dx[/mm]
[mm]\frac{1}{\pi}\int_{}^{}{\frac{e^{ia+ax}+ e{-ia+ax}}{2}}dx[/mm]
[mm]\frac{1}{\pi}(\int_{}^{}{\frac{1}{2}e^{ia+ax}}dx +\int_{}^{}{\frac{1}{2}e^{-ia+ax}}dx)[/mm]
Stammfunktionen suchen und Zudammenfassen
[mm]\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2a}e^{ia+ax}-\frac{1}{2a} e^{-ia+ax})[/mm]
[mm]\frac{1}{\pi a}(\frac{e^{ia+ax}-e^{-ia+ax}}{2})[/mm]
[mm]=\frac{1}{\pi a} sin(a+\frac{ax}{i})[/mm]
Jetzt müsste ich die Intervallgrenzen einsetzen, aber was da kann ich ja gar nichts mehr zusammen fassen, wegen dem a.
Und was meinen die im zweiten Teil der Aufgabe mit berechne, wird damit der Grenzwert der Summe gemeint?
Grüße,
Marie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 21.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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