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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:29 So 12.07.2015 | | Autor: | fse |
| Aufgabe | Die 2pi Periodische Funktion f(t) ist gegeben durch:
[mm] f(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{ für -0,5pi <= t <= 0}\\ 1, & \mbox{ für 0 <= t < 0,5pi }\\ 0, & \mbox{ für 0,5pi <= t < 1,5pi } \end{cases}
[/mm]
bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten [mm] b_n [/mm] |
Ich will die Fouriekoeffizienten [mm] b_n [/mm] berechen.
Laut Lösung lautet das Integal
[mm] b_n=\bruch{2}{2\pi}\integral_{0}^{pi/2}{sin(n*t) dt}
[/mm]
Weshalb reicht hier das Integral von 0 bis pi/2 ?
Oder ist das ein Fehler in der Lösung?
Müsste ich eigentlich nicht von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] und von [mm] 1,5\pi [/mm] bis [mm] 2\pi [/mm] integrieren?
Grüße fse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:48 Mo 13.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Die 2pi Periodische Funktion f(t) ist gegeben durch:
> [mm]f(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{ für -0,5pi <= t <= 0}\\ 1, & \mbox{ für 0 <= t < 0,5pi }\\ 0, & \mbox{ für 0,5pi <= t < 1,5pi } \end{cases}[/mm]
>
>
> bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten [mm]b_n[/mm]
> Ich will die Fouriekoeffizienten [mm]b_n[/mm] berechen.
> Laut Lösung lautet das Integal
> [mm]b_n=\bruch{2}{2\pi}\integral_{0}^{pi/2}{sin(n*t) dt}[/mm]
>
> Weshalb reicht hier das Integral von 0 bis pi/2 ?
> Oder ist das ein Fehler in der Lösung?
> Müsste ich eigentlich nicht von 0 bis [mm]\pi/2[/mm] und von
> [mm]1,5\pi[/mm] bis [mm]2\pi[/mm] integrieren?
>
> Grüße fse
In deiner Formel fehlt in jedem Fall der Faktor f(t) im Integranden.
Das Integral von pi/2 bis 3 pi /2 kannst du dir schenken, da die Funktion in dem Bereich ja Null ist und somit auch das Integral keinen Beitrag liefert.
er Rest der Funktion f(t) ist ungerade, also punktsymmetrisch bzgl des Ursprungs (f(-t)=-f(t)). Multipliziert man die ungerade Funktion f(t) mit der ungeraden Funktion sin(n*t), so ist dieser Integrand eine gerade Funktion, also symmetrisch zur Ordinatenachse, und daher genügt es, anstelle von -pi/2 bis pi/2 bloß von 0 bis pi/2 zu intrgerieren und das Ergebnis zu verdoppeln.
Analoge Überlegungen ergeben, dass keine Kosinusanteile auftreten, alle [mm] a_n [/mm] also Null sind und nicht berechnet werden müssen.
Gruß RMix
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:57 Mo 13.07.2015 | | Autor: | fse |
Der Faktor f(t) ist doch 1 im Bereich von 0 bis pi/2 und kann somit auch weggelassen werden. Ich denke jedoch das Faktor 2 vor dem Integral fehlt.
also müsste es richtig heißen
$ [mm] b_n=\bruch{2*2}{2\pi}\integral_{0}^{pi/2}{1*sin(n\cdot{}t) dt} [/mm] $
$ [mm] b_n=\bruch{2}{pi}\integral_{0}^{pi/2}{1*sin(n\cdot{}t) dt} [/mm] $
Stimmt das so?
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Hallo!
Das ist völlig richtig.
Für eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion ist allgemein
[mm] b_n=\frac{1}{\pi}\int_C^{C+2\pi}f(t)\sin(nt)\,dt
[/mm]
Du zerlegst das Integral in drei Teile, einer ist null, die anderen sind identisch. Du brauchst also nur ein Teilintegral berechnen und verdoppeln, was zum Vorfaktor [mm] \frac{2}{\pi} [/mm] führt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 13.07.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Der Faktor f(t) ist doch 1 im Bereich von 0 bis pi/2 und
> kann somit auch weggelassen werden. Ich denke jedoch das
> Faktor 2 vor dem Integral fehlt.
>
> also müsste es richtig heißen
> [mm]b_n=\bruch{2*2}{2\pi}\integral_{0}^{pi/2}{1*sin(n\cdot{}t) dt}[/mm]
>
> [mm]b_n=\bruch{2}{pi}\integral_{0}^{pi/2}{1*sin(n\cdot{}t) dt}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ja, du hast Recht. Als ich das mit dem fehlenden f(t) geschrieben hatte, hatte ich offenbar mehr die allg Formel im Kopf als die konkrete gegebene Funktion.
Auch der Faktor 2 ist richtig. Im Text hab ich ihn erwähnt, aber nicht bemerkt, dass er in der Musterlösung fehlt (bzw. die 2 im Nenner zuviel ist). Die Werte im beigefügten Bild sind aber richtig, jedoch sehe ich gerade, dass ich da deine Funktion f(t) irrtümlich an der t-Achse gespiegelt hatte - Das Vorzeichen der Werte [mm] b_n [/mm] muss also geändert werden, die Werte sind positiv.
Du kannst auch [mm] $b_n$ [/mm] allgemein auswerten und erhältst dann
[mm] $b_n=\frac{2}{n\cdot\pi}\cdot \left( 1-cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{4}{n\cdot \pi}\cdot sin^2\left( n\cdot\frac{\pi}{4}\right)$
[/mm]
Hierbei wird dann zB deutlich ersichtlich, dass jeder vierte Wert Null wird.
Gruß RMix
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