Fourierkoeffizienten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
oh je, ich hab ein kleines problem
Die fourierreihe [mm] S_{n}(f(x)) [/mm] einer funktion f(x) ist doch definiert durch
[mm]
S_{n}(f(x)) = \bruch{a_{0}}{2} \summe_{k=1}^{n} (a_{k} cos (kx) + b_{k} sin (kx) )
[/mm]
wobei die Fourierkoeffizienten
[mm]
a_{k} = \bruch{1}{ \pi} \integral_{- \pi}^{ \pi} {f(x) cos (kx) dx}
b_{k} = \bruch{1}{ \pi} \integral_{- \pi}^{ \pi} {f(x) sin (kx) dx}
[/mm]
sind.
Hier nun meine Frage:
Falls f ungerade ist, ist [mm]a_{k}=0 [/mm]und
falls f gerade ist, ist [mm]b_{k}=0[/mm].
Nun, warum, an einem Beispiel ist mir das offenichtlich klar, doch allgemein, wie kann man das denn zeigen. Ich hab leider noch keine
Ahnung wie ich hier vorgehen soll.
Wäre cool, wenn mir jemand einen Tipp oder ähnliches gibt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Marc!
> $ [mm] S_{n}(f(x)) [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}}{2} \summe_{k=1}^{n} (a_{k} [/mm] cos (kx) + [mm] b_{k} [/mm] sin (kx) ) $
Es muss [mm] $\frac{a_0}{2}+\summe [/mm] ...$ lauten.
> Hier nun meine Frage:
> Falls f ungerade ist, ist $ [mm] a_{k}=0 [/mm] $und
> falls f gerade ist, ist $ [mm] b_{k}=0 [/mm] $.
Eine ungerade Funktion geht durch Punktspiegelung am Ursprung wieder in sich über. Es gilt $f(-x)=-f(x)$. Integrierst du in einem Intervall $[-a,a]$, so nimmt dieses bestimmte Integral den Wert 0 an, da all das, was rechts vom Ursprung addiert/subtrahiert wird, links vom Ursprung [eben wegen der Punktsymmetrie] subtrahiert/addiert wird. Formell folgt dies auch so: [mm] $f(-x)=-f(x)\gdw \integral_{0}^{a} f(-x)\cdot dx+\integral_{0}^{a} f(x)=0\gdw \integral_{-a}^{0} f(x)\cdot dx+\integral_{0}^{a}=0$. [/mm]
Für eine gerade Funktion gilt $f(-x)=f(x)$, sie geht durch Achsenspiegelung an der Y-Achse wieder in sich über. Das bestimmte Integral über dem Intervall $[-a,a]$ entspricht ist also doppelt so groß wie dasjenige über $[0,a]$.
Multiplizierst du zwei gerade Funktionen miteinander, so erhältst du wieder eine gerade Funktion, denn: seien $f,g$ gerade Funktionen, so gilt [mm] $f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot [/mm] g(x)$ nach Voraussetzung, also $f(-x)=0, g(-x)=0$.
Multiplizierst du zwei ungerade Funktionen miteinander, so erhältst du ebenfalls eine gerade Funktion, denn: seien $f,g$ ungerade Funktionen, so gilt [mm] $f(-x)\cdot g(-x)=(-f(x))\cdot (-g(x))=f(x)\cdot [/mm] g(x)$, wegen $f(-x)=-f(x), g(-x)=-g(x)$.
Multiplizierst du eine ungerade mit einer geraden Funktion, so erhältst du eine ungerade Funktion, denn: sei $f$ eine gerade, $g$ eine ungerade Funktion, so gilt [mm] $f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot (-g(x))=-f(x)\cdot [/mm] g(x)$, da $f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x)$.
Betrachten wir nun die Funktionen (1) [mm] $f(x)\cdot [/mm] sin(nx)$ und (2) [mm] $f(x)\cdot [/mm] cos(nx)$.
Für gerades $f$ ist (1) nach obiger Begründung eine ungerade Funktion. Das bestimmte Integral im Bereich [mm] $[-\pi,\pi]$ [/mm] ist also Null; übertragen auf die Fourierkoeffizienten bedeutet dies, dass [mm] $b_n=0, n\in \IN$ [/mm] gilt. In diesem Falle ist (2) eine gerade Funktion, das bestimmte Integral nimmt nicht notwendiger Weise den Wert 0 an.
Für ungerades $f$ ist (1) nach obiger Begründung eine gerade Funktion, (2) allerdings ungerade. Folglich fallen in diesem Falle die [mm] $a_n, n\in \IN$ [/mm] weg, d.h. sie nehmen den Wert 0 an.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
