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| Aufgabe | | Sei f eine Funktion mit Periode T. Unter welchen Fourierkoeffzienten von f ist die Stammfunktion Integral f(x)dx wieder T-periodisch? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, jedoch keine hilfreiche Antwort bekommen:
- http://www.onlinemathe.de/forum/Fourierkoeffizienten-bei-Funktionen
- http://www.gute-mathe-fragen.de/180174/fourierkoeffizienten-herausfinden
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiss nicht wirklich, wie ich das beantworten kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f eine Funktion mit Periode T. Unter welchen
> Fourierkoeffzienten von f ist die Stammfunktion Integral
> f(x)dx wieder T-periodisch?
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt, jedoch keine hilfreiche Antwort
> bekommen:
>
> -
> http://www.onlinemathe.de/forum/Fourierkoeffizienten-bei-Funktionen
> -
> http://www.gute-mathe-fragen.de/180174/fourierkoeffizienten-herausfinden
>
> Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiss
> nicht wirklich, wie ich das beantworten kann...
die Frage ist merkwürdig formuliert. Vermutlich ist gemeint, welche
Bedingungen die Fourierkoeffizienten von [mm] $f\,$ [/mm] zu erfüllen haben, damit
eine Stammfunktion [mm] $\int [/mm] f(x)dx$ auch wieder [mm] $T\,$ [/mm] periodisch ist - da fehlt
aber die Voraussetzung, dass [mm] $f\,$ [/mm] überhaupt eine Fourierreihe hat, die eine
Stammfunktion hat usw. usf..
Also eine sehr unsauber gestellte Aufgabe!
Aber: Bei onlinemathe wurde Dir schon eine Antwort gegeben (die, sagen wir
mal, in den meisten interessanten Fällen genügen sollte), wobei es keine
Bedingung an [mm] $b_0$ [/mm] gibt, da in
$f(t) [mm] \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega [/mm] t)=:g(t)$
gar kein [mm] $b_0$ [/mm] vorkommt.
Nehmen wir mal an, die rechte Seite konvergiert glm. auf $[0,T]$ (und damit auch
schon auf [mm] $\IR$), [/mm] dann kannst Du Integration und Summation vertauschen.
Warum ist [mm] $a_0=0$ [/mm] dann notwendig? Wäre [mm] $a_0\not=0\,,$ [/mm] so kannst Du Dir
mal (etwas zu allgemein, aber das ist ja nicht verkehrt!) Gedanken dazu
machen, was mit [mm] $\int [/mm] g(x)dx=:G$ dann bei
$G(k*T)$ ($k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
hinzuschreiben wäre.
Dadurch wirst Du dann merken, dass notwendig für die [mm] $T\,$-Periodizität [/mm] von
[mm] $G\,$ [/mm] also [mm] $a_0=0$ [/mm] ist. Es ist noch zu überlegen, dass das auch hinreichend
ist - wobei man dann hier ja auch erstmal was über die Konvergenz der
Reihe
(*nach* dem Integrieren!) wissen/annehmen müsste; aber ich habe ja
nicht umsonst eine ziemlich starke Voraussetzung einfach mal
angenommen, die sicher auch noch abgeschwächt werden kann/könnte.
Dennoch: besser eine viel zu starke Voraussetzung, als der Weg, den der
Aufgabensteller geht: Er setzt einfach mal nichts voraus...
Das heißt, der Weg, den der Aufgabensteller gehen lassen will, ist: Rechne
einfach mal drauf los, wende Rechenregeln an, in der Hoffnung, dass Du
weißt, wann Du sie überhaupt anwenden darfst und interpretiere das
Ergebnis dann auch noch so, wie er es gerne hätte.
Für's *grobe* ist das einigermaßen vertretbar, aber sauber ist das nicht...
Gruß,
Marcel
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Ja ich verstehe die Frage ebe aucht nicht wirklich, vorallem gibt sie 3 Punkte und ich habe überhaupt keine Idee, was ich überhaupt rechnen versuchen sollte. Aber in diesem Fall verwende ich mal deinen Weg, dann habe ich wenigstens etwas :)
Aber selber drauf kommen würde ich einfach durch überlegen und benutzen der Fourierformel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja ich verstehe die Frage ebe aucht nicht wirklich,
> vorallem gibt sie 3 Punkte und ich habe überhaupt keine
> Idee, was ich überhaupt rechnen versuchen sollte. Aber in
> diesem Fall verwende ich mal deinen Weg, dann habe ich
> wenigstens etwas :)
>
> Aber selber drauf kommen würde ich einfach durch
> überlegen und benutzen der Fourierformel?
integriere doch einfach mal formal
[mm] $\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega t))\,,$
[/mm]
d.h. für
[mm] $g(t):=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega [/mm] t))$
berechne (formal!) eine Stammfunktion
[mm] $G=\int g(t)dt=\int \left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega t))\right\}dt$
[/mm]
so, wie ich es sagte. Und warum dann [mm] $a_0=0$ [/mm] folgt, wenn [mm] $G\,$ $T\,$-periodisch
[/mm]
sein soll, all sowas habe ich doch schon geschrieben. Du wartest viel zu
sehr darauf, dass Dir jemand etwas vorrechnet, rechne lieber selber, und
wenn Du Fehler machst, dann ist das halt so: Aber Dir wird niemand mehr
beibringen können als Du selbst, wenn Du aus Deinen eigenen Fehlern
lernst!
Gruß,
Marcel
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Oke wir haben noch nie Summen integrieren gelernt und ich habe auch die Schreibweise bei der Begründung, wieso a0=0 ist noch nie gesehen.
Folglich konnte ich ab da nicht mehr folgen leider :/
Könntest du mir, falls du Zeit findest, sagen, was damit genau gemeint ist (und wie man es in einem Satz auf deutsch ausdrücken könnte, wieso a0=0 sein muss?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 02.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oke wir haben noch nie Summen integrieren gelernt und ich
> habe auch die Schreibweise bei der Begründung, wieso a0=0
> ist noch nie gesehen.
>
> Folglich konnte ich ab da nicht mehr folgen leider :/
>
> Könntest du mir, falls du Zeit findest, sagen, was damit
> genau gemeint ist (und wie man es in einem Satz auf deutsch
> ausdrücken könnte, wieso a0=0 sein muss?)
für
$g(t)= [mm] \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega [/mm] t))$
berechnet man EINE Stammfunktion $G$ durch
[mm] $G(t)=\int \left\{\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k \omega t)+b_k \sin(k \omega t))\right\}dt\,,$
[/mm]
und da ich Dir sagte, dass Du rechts Summandenweise integrieren sollst
(einfach annehmen, dass Du das darfst; der Aufgabensteller sagt ja nichts
dazu, obwohl man es eigentlich sollte bzw. sogar müsste!)
[mm] $G(t)=\int \frac{a_0}{2}dt+\left\{\sum_{k=1}^\infty (\int a_k \cos(k \omega t)dt+\int b_k \sin(k \omega t)dt)\right\}$
[/mm]
[mm] $=\frac{a_0}{2}t+\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{k \omega}\sin(k \omega t)+\frac{\red{\,-\,}b_k}{k \omega}\cos(k \omega t)=\frac{a_0}{2}t+\red{\sum_{k=1}^\infty \left\{\underbrace{\frac{\red{\,-\,}b_k}{k \omega}}_{=A_k}\cos(k \omega t)+\underbrace{\frac{a_k}{k \omega}}_{=B_k}\sin(k \omega t)\right\}}$
[/mm]
Der rotmarkierte Term (die rote Reihe) hat offensichtlich wieder Periode
[mm] $T=2\pi/\omega,$ [/mm] und wäre [mm] $a_0 \not=0\,,$ [/mm] so wäre
[mm] $G(2T)=\frac{a_0}{2}*T+G(T)\,,$
[/mm]
so dass [mm] $G\,$ [/mm] nicht mehr [mm] $T\,$-periodisch [/mm] ist. Also muss notwendig [mm] $a_0=0$ [/mm] sein!
Warum im Falle [mm] $a_0=0$ [/mm] aber auch [mm] $G\,$ [/mm] in der Tat schon [mm] $T\,$-periodisch [/mm] ist,
habe ich gerade eben erwähnt: Du solltest aber nachrechnen, dass der
rote Term in der Tat das leistet, was ich sage (das ist nicht schwer).
Fazit wird dann also werden: [mm] $a_0=0$ [/mm] ist sowohl notwendig als auch hinreichend
für die [mm] ($T\,$-)Periodizität [/mm] einer (dieser) Stammfunktion der Fourierreihe.
Nebenbei: Oben kann man dann auch direkt die Fourierkoeffizienten einer
Stammfunktion ablesen. Beachte: Stammfunktionen sind nur eindeutig bis
auf eine additive Konstante (=konstante Funktion).
Gruß,
Marcel
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