Fourierkoeffizient < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | In der Vorlesung hatten wir die Fouriertransformation definiert als
[mm] $(\mathcal{F}f)(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb{R^n}}f(x)e^{-ix\xi}\, [/mm] dx$
Was sind in diesem Zusammenhang Fourierkoeffizienten (die hatten wir irgendwie mit einem Hütchen geschrieben.)? |
Ich habe keine Ahnung, wie da der Zusammenhang ist zwischen der Transformation und den Koeffizienten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Do 15.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mikexx,
hier sollte man sauber unterscheiden. Die Fouriertransformation einer Funktion liefert eine Funktion im sogenannten Bildbereich, der in diesem Falle Fourierbereich genannt wird, was ja naheliegend ist. Man spricht auch von der Darstellung im Frequenzbereich.
Bei der Bestimmung der Fourierkoefizienten stellst Du eine Funktion im Zeitbereich aus der Überlagerung von gegebenenfalls unendlich vielen Sinus- und Cosinusschwingungen dar. Die Koeffizienten dieser Schwingungen sind die Fourierkoeffizienten. Trotz alledem bleibst Du mit dieser Darstellung im Zeitbereich, es ist nur eine andere Art der Schreibweise einer Zeitfunktion.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ich muss vllt. etwas konkreter werden.
Also ich habe folgende Menge für $a>0$:
[mm] $H_a=\left\{f\in L_2(\mathbb{R}):\hat{f}(\xi)=0\mbox{ fast überall, wenn }\lvert\xi\rvert >a\right\}$
[/mm]
und soll nun [mm] $\mathcal{F}(H_a)$ [/mm] bestimmen. Ich verstehe aber nicht, wieso da angeblich
[mm] $\mathcal{F}(H_a)=\left\{f\in L_2(\mathbb{R}):\lvert f(\xi)\rvert =0\mbox{ fast überall, wenn }\lvert\xi\rvert >a\right\}$
[/mm]
rauskommen soll. |
Ich sehe das nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich muss vllt. etwas konkreter werden.
>
> Also ich habe folgende Menge für [mm]a>0[/mm]:
>
> [mm]H_a=\left\{f\in L_2(\mathbb{R}):\hat{f}(\xi)=0\mbox{ fast überall, wenn }\lvert\xi\rvert >a\right\}[/mm]
>
> und soll nun [mm]\mathcal{F}(H_a)[/mm] bestimmen. Ich verstehe aber
> nicht, wieso da angeblich
>
> [mm]\mathcal{F}(H_a)=\left\{f\in L_2(\mathbb{R}):\lvert f(\xi)\rvert =0\mbox{ fast überall, wenn }\lvert\xi\rvert >a\right\}[/mm]
>
> rauskommen soll.
> Ich sehe das nicht...
Mit [mm] \hat{f} [/mm] ist die Fouriertransformierte von f gemeint, also
[mm] \mathcal{F}f= \hat{f}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:24 Do 15.11.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
meint man mit $\hat{f]$ nicht fourierkoeffizienten?
und wieso folgt dann $\lvert f(\xi)\rvert =0$?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mikexx,
ich würde gerne mit Dir diese Sache durchdiskutieren, aber ich kann mit der Schreibweise nichts anfangen als Ingenieur.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 17.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 17.11.2012 | | Autor: | chrisno |
Noch einmal: Es gibt hier keine Fourier-Koeffizienten.
Anschauliche Begründung:
Das Integral läuft von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $+\infty$ [/mm] auch mehrdimensional. Wenn Du Fourier-Koefizienten bestimmst, dann machst Du das bei einem endlichen Intervall. Das liegt hier nicht vor. Die Fourier-Koeffizienten sind nun durch eine Funktion ersetzt worden. Diese heißt Fourier-Transformierte.
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