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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 So 22.08.2010 | | Autor: | bonanza |
hey,
ich habe eine eher allgemeine Frage zum Zusammenhang zwischen den Fourierkoeffizienten und der Fouriertransformierten.
Mal angenommen ich eine Signal s(t)=Dreieck(t)-Dreieck(t-2) dessen Fouriertransformierte ich recht leich berechnen kann.
nun mache ich diese Signal periodisch mit T=4 so, dass ich quasi einen "Cosinus" aus Dreicken habe.
Nun möchte ich von diesen periodischen Funktion [mm] s_p [/mm] (t) die Fourierkoeffizienten [mm] S_p(k) [/mm] berechnen. kann ich dann sagen, dass allgemein:
s(t) [mm] \gdw [/mm] S(f)
und [mm] s_p(t) \gdw S_p(k) [/mm] = 1/T * S(k/T)
gilt?
ich hatte mir das so überlegt:
[mm] s_p(t) [/mm] = s(t) [mm] \star\summe_{k=- \infty}^{\infty} \delta(t-kT)
[/mm]
[mm] [\star [/mm] soll hier die Faltung symbolisieren]
[mm] S_p(k) [/mm] = [mm] 1/T*\integral_{-T/2}^{T/2}{s_p(t)*e^{-i2 \pi kt/T} dt} [/mm] = [mm] 1/T*\integral_{- \infty}^{\infty}{s_p(t)*e^{-i2 \pi kt/T} dt} [/mm] = 1/T*S(k/T)
bei dem konkreten Beispiel von oben habe ich für die Fouriertransformierte S(f) = [mm] sinc^2(\pi f)*(1-e^{-i4 \pi f})
[/mm]
und 1/T*S(k/T) = [mm] 1/4*sinc^2(\pi k/4)*(1-(-1)^k) [/mm] = [mm] \frac{sin^2(\pi*k/4)}{4* \pi^2 k^2}*(1- (-1)^k)
[/mm]
[sinc(x) = sin(x) /x]
rauskommen sollte aber: [mm] S_p(k) [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi^2k^2}(1-(-1)^k)
[/mm]
ich mein so unterschiedlich sind die ergebnisse ja jetzt nicht  ...
aber wo steckt der fehler ? kann ich diesen Übergang [mm] T->\infty [/mm] nicht machen? oder habe ich mir "nur" verrechnet ?
danke schonmal für eure Hilfe!
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> hey,
> ich habe eine eher allgemeine Frage zum Zusammenhang
> zwischen den Fourierkoeffizienten und der
> Fouriertransformierten.
> Mal angenommen ich eine Signal
> s(t)=Dreieck(t)-Dreieck(t-2) dessen Fouriertransformierte
> ich recht leich berechnen kann.
> nun mache ich diese Signal periodisch mit T=4 so, dass ich
> quasi einen "Cosinus" aus Dreicken habe.
> Nun möchte ich von diesen periodischen Funktion [mm]s_p[/mm] (t)
> die Fourierkoeffizienten [mm]S_p(k)[/mm] berechnen. kann ich dann
> sagen, dass allgemein:
>
> s(t) [mm]\gdw[/mm] S(f)
> und [mm]s_p(t) \gdw S_p(k)[/mm] = 1/T * S(k/T)
> gilt?
>
> ich hatte mir das so überlegt:
> [mm]s_p(t)[/mm] = s(t) [mm]\star\summe_{k=- \infty}^{\infty} \delta(t-kT)[/mm]
>
> [mm][\star[/mm] soll hier die Faltung symbolisieren]
> [mm]S_p(k)[/mm] = [mm]1/T*\integral_{-T/2}^{T/2}{s_p(t)*e^{-i2 \pi kt/T} dt}[/mm]
> = [mm]1/T*\integral_{- \infty}^{\infty}{s_p(t)*e^{-i2 \pi kt/T} dt}[/mm]
> = 1/T*S(k/T)
sauber ist die herleitung nicht, aber ich habe grader auch keine saubere zur hand
beim "auflösen" des sinc in den sinus und seinen nenner ist dir die 4 aus dem argument abhanden gekommen! danach lässt sich der sinus für ungerade k vereinfachen
>
> bei dem konkreten Beispiel von oben habe ich für die
> Fouriertransformierte S(f) = [mm]sinc^2(\pi f)*(1-e^{-i4 \pi f})[/mm]
>
> und 1/T*S(k/T) = [mm]1/4*sinc^2(\pi k/4)*(1-(-1)^k)[/mm] =
> [mm]\frac{sin^2(\pi*k/4)}{4* \pi^2 k^2}*(1- (-1)^k)[/mm]
> [sinc(x) =
> sin(x) /x]
> rauskommen sollte aber: [mm]S_p(k)[/mm] =
> [mm]\frac{2}{\pi^2k^2}(1-(-1)^k)[/mm]
>
> ich mein so unterschiedlich sind die ergebnisse ja jetzt
> nicht ...
> aber wo steckt der fehler ? kann ich diesen Übergang
> [mm]T->\infty[/mm] nicht machen? oder habe ich mir "nur" verrechnet
> ?
>
>
> danke schonmal für eure Hilfe!
gruß tee
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