Fourierentw. Treppenfunktion < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 So 08.11.2009 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | Sei [mm] \phi(x) [/mm] = 0 für 0<x<1 und [mm] \phi(x)=1 [/mm] für 1<x<3.
a) Berechnen Sie die ersten vier Terme der Cosinus-Fourierentwicklung.
b) Was ist die Entwicklung für 0<=x<=3?
c) Setze x=0 ein um den Grenzwert der Summe zu finden:
1+ 1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+...
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Ich habe leider keine Ahnung welche Formel ich verwenden muss, um die Fourierentwicklung einer Treppenfunktion zu berechnen.
Ich habs mal wie folgt probiert, wobei ich aber nicht auf die in c) geforderte Summe gekommen bin:
[mm] A_m [/mm] = [mm] \frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{m\pi x}{3}) [/mm] dx
Dann hab ich das Integral von 0 bis 1 und von 1 bis 3 aufgeteilt und dann komme ich aber auf eine andere Fourierreihe als in c), wenn ich x=0 einsetze. Was mache ich falsch?
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Hallo Pidgin,
> Sei [mm]\phi(x)[/mm] = 0 für 0<x<1 und [mm]\phi(x)=1[/mm] für 1<x<3.
> a) Berechnen Sie die ersten vier Terme der
> Cosinus-Fourierentwicklung.
> b) Was ist die Entwicklung für 0<=x<=3?
> c) Setze x=0 ein um den Grenzwert der Summe zu finden:
> 1+ 1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+...
>
> Ich habe leider keine Ahnung welche Formel ich verwenden
> muss, um die Fourierentwicklung einer Treppenfunktion zu
> berechnen.
> Ich habs mal wie folgt probiert, wobei ich aber nicht auf
> die in c) geforderte Summe gekommen bin:
>
> [mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{m\pi x}{3})[/mm]
> dx
>
> Dann hab ich das Integral von 0 bis 1 und von 1 bis 3
> aufgeteilt und dann komme ich aber auf eine andere
> Fourierreihe als in c), wenn ich x=0 einsetze. Was mache
> ich falsch?
Ich denke, dass da das falsche [mm]\omega[/mm] eingesetzt wurde.
Es gilt: [mm]\omega*T=2*\pi[/mm]
, wobei [mm]\omega[/mm] die Kreisfrequenz und T die Periode ist.
Dann muss sich das Integral so ergeben:
[mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{\red{2}*m\pi x}{3})[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 08.11.2009 | | Autor: | Pidgin |
> Ich denke, dass da das falsche [mm]\omega[/mm] eingesetzt wurde.
>
> Es gilt: [mm]\omega*T=2*\pi[/mm]
>
> , wobei [mm]\omega[/mm] die Kreisfrequenz und T die Periode ist.
>
> Dann muss sich das Integral so ergeben:
>
> [mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{\red{2}*m\pi x}{3})dx[/mm]
Ich verstehe deinen Verbesserungsvorschlag leider nicht. In meinem Buch lautet die Formel wie folgt:
[mm] A_m [/mm] = [mm] \frac{2}{l}\int\limits_0^l \phi(x)\cdot cos(\frac{m\pi x}{l})dx
[/mm]
Wenn ich es nun auf meine Aufgabenstellung anwende kommt folgendes Integral raus, was aber leider nicht mit Aufgabe c) übereinstimmt.
[mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{m\pi x}{3})dx[/mm]
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Hallo Pidgin,
> > Ich denke, dass da das falsche [mm]\omega[/mm] eingesetzt wurde.
> >
> > Es gilt: [mm]\omega*T=2*\pi[/mm]
> >
> > , wobei [mm]\omega[/mm] die Kreisfrequenz und T die Periode ist.
> >
> > Dann muss sich das Integral so ergeben:
> >
> > [mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{\red{2}*m\pi x}{3})dx[/mm]
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> Ich verstehe deinen Verbesserungsvorschlag leider nicht. In
> meinem Buch lautet die Formel wie folgt:
>
> [mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{l}\int\limits_0^l \phi(x)\cdot cos(\frac{m\pi x}{l})dx[/mm]
Das l vor dem Integral, sagt mir, daß die Funktion l-periodisch ist.
Das l im Integranden sagt mir hingegen, daß die Funktion 2l-periodisch ist.
Deshalb die Frage, wie der Autor dieses Buches auf diese Formel kommt.
>
> Wenn ich es nun auf meine Aufgabenstellung anwende kommt
> folgendes Integral raus, was aber leider nicht mit Aufgabe
> c) übereinstimmt.
>
> [mm]A_m[/mm] = [mm]\frac{2}{3} \cdot \int\limits_0^3 \phi(x) \cdot \cos(\frac{m\pi x}{3})dx[/mm]
>
Gruss
MathePower
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