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Ich habe noch ein Beispliel Für Fourier Reihen geübt und komme nicht auf die Lösung Kann mir den Rexchenweg erklären
HieR die Aufgabe y=x im Intervall [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] \pi/2
[/mm]
Ich ahbe als Lösung Y = [mm] 2/\pi(sin(x()+sin(2x)/2^2+sin(3x)/3^2+...
[/mm]
Aber als Läsung muss raus kommen Y = [mm] 4/\pi(sin(x()+sin(3x)/3^2+sin(5x)/5^2
[/mm]
Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen.
Danke
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> Ich habe noch ein Beispliel Für Fourier Reihen geübt und
> komme nicht auf die Lösung Kann mir den Rexchenweg
> erklären
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> HieR die Aufgabe y=x im Intervall [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]\pi/2[/mm]
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> Ich ahbe als Lösung Y =
> [mm]2/\pi(sin(x()+sin(2x)/2^2+sin(3x)/3^2+...[/mm]
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> Aber als Läsung muss raus kommen Y =
> [mm]4/\pi(sin(x()+sin(3x)/3^2+sin(5x)/5^2[/mm]
>
> Ich würde mich sehr über eine Erklärung freuen.
Ich denke: beides ist falsch (relativ zu der von Dir angegebenen Aufgabenstellung). Erklärung: Die Funktion $f(x)=x$ ist ungerade, also hast Du eine reine Sinusreihe der Form:
[mm]\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\cdot \omega x)\quad\text{mit }b_n:= \frac{2}{T}\cdot\int\limits_{-\pi/2}^{+\pi/2}f(x)\cdot\sin(n\cdot\omega x)\, dx[/mm]
Die Periodenlänge ist [mm] $T=\pi$, [/mm] die Kreisfrequenz [mm] $\omega$ [/mm] daher [mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}=2$. [/mm] Somit können gar keine Sinuswerte von ungeraden Vielfachen von $x$ in dieser Reihe auftreten: im Widerspruch zur angeblichen Lösung dieser Aufgabe.
Die weitere Rechnung ergibt
[mm]b_n=\frac{2}{\pi}\cdot \int\limits_{-\pi/2}^{+\pi/2}x\cdot\sin(n\cdot 2x)\, dx=\frac{2}{\pi}\cdot \left(-\frac{\pi \cos(n\pi)}{2n}\right)=\frac{(-1)^{n+1}}{n}[/mm]
Also haben wir die Fourierreihe
[mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(n\cdot 2x)[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 So 24.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Ich habe die Lösung aus dem Mathematikbuch von Bronstein.
Soll die angegebene Lösung wirklich falsch sein
Danke für deine Erklärung
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Hallo sollen die Lösungen im Mathebuch von Bronstein wirklich falsch sein
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> Hallo sollen die Lösungen im Mathebuch von Bronstein
> wirklich falsch sein
Nein, die fragliche Lösung im Bronstein ist nicht falsch - es handelt sich lediglich nicht um eine Lösung der Aufgabe, die Du in Deiner ursprünglichen Frage formuliert hattest.
Was Fragen betrifft gilt auch in diesem Forum: garbage in, garbage out. - Wer eine Frage falsch formuliert, erhält Antworten, die sein wirkliches Problem nicht lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 So 24.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Ich habe die Lösung aus dem Mathematikbuch von Bronstein.
>
> Soll die angegebene Lösung wirklich falsch sein
Falsch insofern, als es sich nicht um die Lösung der Aufgabenstellung handelt, die Du uns angegeben hast. Beweis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die hier angegebene Funktion stimmt nicht mit der Funktion überein, die Du uns angegeben hattest. - Solche ganz unnötigen Missverständnisse nerven mich ungemein: habe doch bitte die Freundlichkeit, Aufgabenstellungen mit der nötigen Sorgfalt und Vollständigkeit zu übermitteln. Es wäre in Deinem eigenen wohlverstandenen Interesse. Andernfalls verschwendest Du nicht nur die Zeit derjenigen, die Dir auf falsch oder unvollständig formulierte Fragen antworten, sondern sogar Deine eigene...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 So 24.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Kannst du mir Zeigen wie man auf das Ergebnis kommt.
Wie ich in meiner ersten Mitteilung geschrieben habe komme ich auf ein anderes Ergebnis.
Ich habe verschiedene Aufgaben gerechnet und habe immer das Ergebnis erreicht.
PS Meine undeutlichen Fragen beruhen auf Teil Unwissen in
der Mathematik wofür ich mich entschuldigen möchte.
Deswegen nutze ich das Forum und bin für jede
Unterstützung dankbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 24.08.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo christopf,
poste doch mal Deinen Rechenweg, dann können wir besser weiterhelfen.
VG,
Infinit
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Mein Rechenweg ist:
[mm] a_n=0
[/mm]
[mm] bn=1/\pi\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{f(x) dx}=1/2x^2=0
[/mm]
[mm] b_k=1/\pi\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{f(x)*sin(nx) dx}
[/mm]
Laut Bronstein Integraltabelle ergibt das
[mm] sin(ax)/a^2 [/mm] -x*cos(ax)/a
Ergibt auf meine Aufgabe
[mm] sin(nx)/n^2 [/mm] -x*cos(nx)/n
Jetzt setze Ich [mm] -\pi/2 [/mm] und [mm] \pi/2 [/mm] bei sinus ein und ergibt [mm] 2/n^2
[/mm]
Jetzt setze Ich [mm] -\pi/2 [/mm] und [mm] \pi/2 [/mm] bei cosinus ein und ergibt 0
Dann rechne ich [mm] 1/\pi* 2/n^2
[/mm]
Das ergibt Y= [mm] 2/\pi(\summe_{n=1}^{\infty} Sin(nx)/n^2)
[/mm]
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Hallo,
Du möchtest also die Fourierreihe der periodischen Funktion f(x)=x für [mm] -\bruch{\pi}{2}\le x\le \bruch{\pi}{2} [/mm] berechnen.
Bemerkungen im Thread entnehme ich, daß Du mit dem Bronstein arbeitest, ich übernehme also, was man dort lesen kann.
Fourierentwicklung bedeutet, daß Du Deine Funktion schreibst als
[mm] f(x)=\bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_k \cos [/mm] kx + [mm] b_k \sin [/mm] kx).
Die Koeffizienten sind lt. Bronstein (bei mir 4.49 )
[mm] a_k=\bruch{1}{l}\integral_{-l}^{l}f(x)\cos\bruch{k\pi x}{l}dx
[/mm]
und
[mm] b_k=\bruch{1}{l}\integral_{-l}^{l}f(x)\sin\bruch{k\pi x}{l}dx,
[/mm]
l ist hierbei die halbe Peridenlänge.
Deine Funktion ist ungerade, also sind die [mm] a_k=0, [/mm] so daß Deine Fourierreiihe dieGestalt f(x)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_k \sin [/mm] kx haben wird.
Zu berechnen sind die [mm] b_k.
[/mm]
Zu beachten ist, daß l die halbe(!) Periodenlänge ist, also in Deinem Fall [mm] l=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Berechnen mußt Du also
[mm] b_k=\bruch{2}{\pi}\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}x\sin(2kx)dx.
[/mm]
Dieses Integral unterscheidet sich von Deinem, und Du solltest jetzt mal weiterrechnen und gucken, ob Du zu einem richtigen Ergebnis gelangst.
Gruß v. Angela
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Gibt es eine Regel wann man mit [mm] 2/\pi [/mm] rechnet und wann mit [mm] 1/\pi
[/mm]
Danke
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> Gibt es eine Regel wann man mit [mm]2/\pi[/mm] rechnet und wann mit
> [mm]1/\pi[/mm]
Hallo,
ich hab' das doch schon geschrieben: das l im Bronstein ist die halbe Periodenlänge.
Wenn die Periodenlänge irgendwann mal 4711 ist, ist Dein [mm] l=\bruch{4711}{2}.
[/mm]
Deine gegebene Funktion war doch f(x)=x für [mm] \bruch{\pi}{2}\le x\le \bruch{\pi}{2} [/mm] mit [mm] f(x+\pi)=f(x) [/mm] für alle [mm] x\in \IR [/mm] - auch wenn Du das so genau nicht aufgeschrieben und/oder verstanden hattest.
Die Periodenlänge ist hier [mm] \pi. [/mm]
Die Funktion g(x)=x für [mm] 0\le x\le [/mm] 42 mit f(x+42)=f(x) für alle [mm] x\in \IR [/mm] hat die Periodenlänge 42.
Bei der wikipedia steht übrigens auch was über die ![[]](/images/popup.gif) Fourierreihe, vielleicht kommst Du damit besser klar. Der Bronstein ist ja manchmal ein bißchen unübersichtlich und klein bedruckt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 So 24.08.2008 | | Autor: | Infinit |
Halo Christopf,
Dein Ansatz ist verkehrt, da hier die Periode der Funktion ja nur Pi beträgt und nicht 2Pi. Lösen musst Du also etwas wie
$$ [mm] \bruch{4}{pi} \int_0^{\bruch{\pi}{2}} [/mm] x [mm] \sin [/mm] (2nx) [mm] \, [/mm] dx $$
VG,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 So 24.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Halo Christopf,
> Dein Ansatz ist verkehrt, da hier die Periode der Funktion
> ja nur Pi beträgt und nicht 2Pi. Lösen musst Du also etwas
> wie
> [mm]\bruch{4}{pi} \int_0^{\bruch{\pi}{2}} x \sin (2nx) \, dx[/mm]
Ob die Periode [mm] $2\pi$ [/mm] wirklich falsch ist oder nicht, hängt davon ab, für welche genaue Funktion er die Fourier-Reihe bestimmen will. Er hat uns die Funktion
[mm]f(x)= x\quad \text{ für $-\pi/2\leq x\leq \pi/2$}[/mm]
angegeben. Das Beispiel im Bronstein, auf das er sich zur Lösungskontrolle stützen will, ist aber so definiert:
[mm]f(x)=\begin{cases} x &\text{für $-\pi/2\leq x \leq\pi/2$}\\
\pi-x &\text{für $\pi/2\leq x\leq 3\pi/2$}
\end{cases}[/mm]
Es ist bemerkenswert, dass er, nachdem ich ihn ausdrücklich auf diese Differenz aufmerksam gemacht habe, kein Wort darüber verliert, welche dieser beiden Funktionen denn nun gemeint ist.
Wenn er auf diesem Wege (also mit der ersten Version von $f(x)$) weiterrechnet, wird er bestenfalls zu einem Ergebnis kommen, das wiederum mit der "Lösung" im Bronstein nicht übereinstimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 So 24.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Hallo ich beziehe mich auf die erste Variante. Laut mein Veständnis müssten beide Intervalle das gleiche Ergebnis liefern
Danke
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> Hallo ich beziehe mich auf die erste Variante. Laut mein
> Veständnis müssten beide Intervalle das gleiche Ergebnis
> liefern
Hallo,
hier bist Du etwas arg optimistisch (oder blauäugig).
Es sind doch die Funktionen
f(x)=x mit [mm] -\bruch{\pi}{2}\le [/mm] x [mm] \le bruch{\pi}{2} [/mm] (Periode [mm] \pi)
[/mm]
g(x)=x mit [mm] -\pi \le x\le \pi [/mm] (Periode [mm] 2\pi)
[/mm]
und die von Somebody ins Feld geführte verschiedene Funktionen.
Wieso hoffst Du da aufs selbe Ergebnis?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 So 24.08.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo ich beziehe mich auf die erste Variante. Laut mein
> Veständnis müssten beide Intervalle das gleiche Ergebnis
> liefern
Beide Intervalle?! - Du meinst beide Funktionen mit ihren jeweiligen Perioden? Falls ja muss ich Dich enttäuschen: man erhält nicht dieselbe Fourierreihe.
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