Fourier Reihe und Transform. < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachte die periodische Fortsetzung der [mm] \delta [/mm] -Funktion auf einem Intervall der Länge [mm] \Delta [/mm] , d.h.
f(t) = [mm] \summe_{n\in \IZ} \delta(t-n\Delta).
[/mm]
i) Zeige, dass ihre Fourier-Reihe gegeben ist durch
f(t) = [mm] \bruch{1}{\Delta} \summe_{n\in \IZ} e^{\bruch{2\pi int}{\Delta}}
[/mm]
ii) Bestimme die Fourier-Transformierte F(w) und ihre Periode im Frequenzbereich. |
Hallo zusammen,
ich muss die beiden Aufgaben bis Montag morgen fertig haben und habe leider garkeine Ahnung wie ich überhaupt anfangen muss. In dem Beispiel kann ich leider F(w) aus keiner Tabelle heraus lesen.
...ich hoffe mir kann Jemand einen Tipp geben.....
Grüße
Melli
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 So 22.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melli!
> Betrachte die periodische Fortsetzung der [mm]\delta[/mm] -Funktion
> auf einem Intervall der Länge [mm]\Delta[/mm] , d.h.
> [mm]f(t) = \summe_{n\in \IZ} \delta(t-n\Delta).[/mm]
>
> i) Zeige, dass ihre Fourier-Reihe gegeben ist durch
> [mm]f(t) = \bruch{1}{\Delta} \summe_{n\in \IZ} e^{\bruch{2\pi int}{\Delta}}[/mm]
>
> ii) Bestimme die Fourier-Transformierte F(w) und ihre
> Periode im Frequenzbereich.
> Hallo zusammen,
>
> ich muss die beiden Aufgaben bis Montag morgen fertig haben
> und habe leider garkeine Ahnung wie ich überhaupt anfangen
> muss. In dem Beispiel kann ich leider F(w) aus keiner
> Tabelle heraus lesen.
Du musst die Linearität der Fouriertransfomation benutzen: die Fouriertransformierte von $f(t)$ ist die Summe der Fouriertransformierten der einzelnen Summanden [mm] $\delta(t-n\Delta)$. [/mm] Für einen einzelnen SUmmanden brauchst du keine Tabelle, das Integral kannst du ganz einfach selbst ausrechnen.
Für die Fourierreihe gilt das genauso, z.B. ist in der Berechnung des k-ten Koeffizienten
[mm] \integral_{-\Delta/2}^{+\Delta/2} \left(\summe_{n\in \IZ} \delta(t-n\Delta)\right) e^{-2\pi ikt\omega} dt = \summe_{n\in \IZ} \integral_{-\Delta/2}^{+\Delta/2} \delta(t-n\Delta)e^{-2\pi ikt\omega} dt [/mm] .
Nun ist dieses Integral nur dann ungleich 0, wenn der Wert [mm] $t-n\Delta=0 \gdw t=n\Delta$ [/mm] im Integrationsintervall liegt, was nur für $n=0$ der Fall ist. So bleibt nur der Summand mit n=0 übrig:
[mm] \integral_{-\Delta/2}^{+\Delta/2} \delta(t)e^{-2\pi ikt\omega} dt =1 [/mm]
mit der Definition der [mm] $\delta$-Distribution.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
