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| Aufgabe | Ein Strom mit dem Scheitelwert î hat den angegebenen zeitlichen Verlauf. Es ist die Fourier-Reihe der Funktion anzugeben.
i=î * |sin(wt)| |
Hallo zusammen,
den Gleichanteil der Funktion mit [mm] a_0 [/mm] habe ich bereits berechnet.
Da es sich um eine gerade Funktion handelt fehlt mir noch der Koeffizient [mm] a_v.
[/mm]
Die Periode habe ich von 0 bis pi angenommen und bin von folgendem Start ausgegangen:
[mm] a_v [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{ i*sin(wt)*cos(vwt) dwt}
[/mm]
Integriert und Grenzen eingesetzt bringt mich zu folgendem:
[mm] a_v= \bruch{2i}{\pi}[\bruch{-cos((1+v)\pi)}{2(1+v)}-\bruch{cos((1-v)\pi)}{2(1-v)}+\bruch{1}{2(1+v)}+\bruch{1}{2(1-v)}]
[/mm]
(Das i hier soll eigentlich ein î sein, allerdings wird das anscheinend einfach weggelassen)
An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
Kann mir einer behilflich sein und sagen wie ich das ganze etwas vereinfachen kann?
liebe Grüße
mathefreak
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Hallo mathefreak89,
> Ein Strom mit dem Scheitelwert î hat den angegebenen
> zeitlichen Verlauf. Es ist die Fourier-Reihe der Funktion
> anzugeben.
>
> i=î * |sin(wt)|
> Hallo zusammen,
>
> den Gleichanteil der Funktion mit [mm]a_0[/mm] habe ich bereits
> berechnet.
> Da es sich um eine gerade Funktion handelt fehlt mir noch
> der Koeffizient [mm]a_v.[/mm]
>
> Die Periode habe ich von 0 bis pi angenommen und bin von
> folgendem Start ausgegangen:
>
> [mm]a_v[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{\pi}{ i*sin(wt)*cos(vwt) dwt}[/mm]
>
> Integriert und Grenzen eingesetzt bringt mich zu
> folgendem:
>
> [mm]a_v= \bruch{2i}{\pi}[\bruch{-cos((1+v)\pi)}{2(1+v)}-\bruch{cos((1-v)\pi)}{2(1-v)}+\bruch{1}{2(1+v)}+\bruch{1}{2(1-v)}][/mm]
>
Bringe diesen Ausdruck auf den Hauptnenner,
wobei auf die Cosinus-Ausdrücke die entsprechenden
Additionstheoreme anzuwenden sind.
> (Das i hier soll eigentlich ein î sein, allerdings wird
> das anscheinend einfach weggelassen)
>
> An dieser Stelle komme ich nicht weiter.
> Kann mir einer behilflich sein und sagen wie ich das ganze
> etwas vereinfachen kann?
>
> liebe Grüße
> mathefreak
Gruss
MathePower
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Ich komme dann auf folgendes:
[mm] a_v=\bruch{i}{\pi} [/mm] [ [mm] \bruch{-cos((1+v)\pi)(1-v)+(1-v)-cos((1-v)\pi)+(1+v)}{1-v^2}]
[/mm]
Ist es nicht irgendwie möglich das ganze zu vereinfachen unter der Betrachtung, dass sich v ganzzahlig ändert und der cos somit gegebenenfalls wegfällt oder gleich dem anderen cos ist?
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Hallo mathefreak89,
> Ich komme dann auf folgendes:
>
> [mm]a_v=\bruch{i}{\pi}[/mm] [
> [mm]\bruch{-cos((1+v)\pi)(1-v)+(1-v)-cos((1-v)\pi)+(1+v)}{1-v^2}][/mm]
>
> Ist es nicht irgendwie möglich das ganze zu vereinfachen
> unter der Betrachtung, dass sich v ganzzahlig ändert und
> der cos somit gegebenenfalls wegfällt oder gleich dem
> anderen cos ist?
>
Die Argumente der Cosinüsse sind auszumultiplizieren
und dann diese Additionstheoreme anzuwenden.
Gruss
MathePower
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Nun bin ich bei folgendem angelangt:
[mm] \bruch{2i}{\pi}[\bruch{cos(v\pi)+1}{1-v^2}]
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Bekomme ich den Cosinus jetz noch irgendwie weg, wenn ich betrachte was passiert wenn ich v einsetzte?
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Hallo mathefreak89,
> Nun bin ich bei folgendem angelangt:
>
> [mm]\bruch{2i}{\pi}[\bruch{cos(v\pi)+1}{1-v^2}][/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
Ja.
> Bekomme ich den Cosinus jetz noch irgendwie weg, wenn ich
> betrachte was passiert wenn ich v einsetzte?
>
Jetzt musst Du eine Fallunterscheidung nach v machen.
Dementsprechend ergeben sich dann die Koeffizienten.
Gruss
MathePower
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Ich würde sagen, dass für gerade v gilt:
[mm] \bruch{4i}{\pi}*\bruch{1}{1-v^2}
[/mm]
und für ungerade [mm] a_v=0
[/mm]
soweit gut?
Mein Gleichanteil _0 beträgt übrigens :
[mm] a_0=\bruch{2i}{\pi}
[/mm]
Wie stelle ich nun die Fourier Reihe auf?
bzw wie kann ich darstellen, dass nur gerade v beachtet werden
Grüße
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Hallo mathefreak89,
> Ich würde sagen, dass für gerade v gilt:
>
> [mm]\bruch{4i}{\pi}*\bruch{1}{1-v^2}[/mm]
>
> und für ungerade [mm]a_v=0[/mm]
>
> soweit gut?
>
> Mein Gleichanteil _0 beträgt übrigens :
>
> [mm]a_0=\bruch{2i}{\pi}[/mm]
>
> Wie stelle ich nun die Fourier Reihe auf?
> bzw wie kann ich darstellen, dass nur gerade v beachtet
> werden
>
Setze v=2k.
Dann ergibt sich die Fourierreihe zu
[mm]\bruch{2}{\pi}+\bruch{4}{\pi}*\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{1-4k^{2}}*\cos\left(2kt\right)[/mm]
> Grüße
Gruss
MathePower
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