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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | | Wir betrachten die [mm] 2\pi [/mm] periodische Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\pi^2-x^2 [/mm] für [mm] -\pi \le x\le \pi. [/mm] Bestimmen sie die Fourier Reihe von f. |
Hallo,
ich habe gerade irgendwie den roten Faden verloren.
Also als erstes muss ich doch [mm] a_{0} [/mm] bestimmen.
D.h.
[mm] a_0=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} \pi^2-x^2 [/mm] cos(kx)
jetzt benutze ich die partielle integration
f(x)= [mm] \pi^2-x^2 [/mm] f'(x)=-2x g'(x)=cos (kx) [mm] g(x)=\bruch{sin(kx)}{k}
[/mm]
hieraus folgt also:
[mm] \pi^2-x^2*\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{sin(kx)}{k}*-2x
[/mm]
ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, würde ich hier nochmal die partielle integration anwenden. Was ist aber die Stammfunktion von [mm] \bruch{sin(kx)}{k}??
[/mm]
Gruß Laura
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> Wir betrachten die [mm]2\pi[/mm] periodische Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> mit [mm]f(x)=\pi^2-x^2[/mm] für [mm]-\pi \le x\le \pi.[/mm] Bestimmen sie
> die Fourier Reihe von f.
> Hallo,
>
> ich habe gerade irgendwie den roten Faden verloren.
>
> Also als erstes muss ich doch [mm]a_{0}[/mm] bestimmen.
>
> D.h.
>
> [mm]a_0=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} \pi^2-x^2[/mm]
> cos(kx)
Das ist erstmal viel zu kompliziert. Bei [mm] a_0 [/mm] hat der cos noch nix verloren, also
[mm] a_0=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}
[/mm]
Das geht noch ohne partielle Integration.
>
> jetzt benutze ich die partielle integration
>
> f(x)= [mm]\pi^2-x^2[/mm] f'(x)=-2x g'(x)=cos (kx)
> [mm]g(x)=\bruch{sin(kx)}{k}[/mm]
>
>
> hieraus folgt also:
>
> [mm]\pi^2-x^2*\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{sin(kx)}{k}*-2x[/mm]
>
>
> ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, würde ich hier
> nochmal die partielle integration anwenden. Was ist aber
> die Stammfunktion von [mm]\bruch{sin(kx)}{k}??[/mm]
>
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
ohhww bin ich blöd sry 
für [mm] a_{0} [/mm] habe ich jetzt [mm] \bruch{4}{3} \pi^2
[/mm]
das was ich gemacht habe war für [mm] a_{k}. [/mm] Wäre es dann soweit richtig und was ist dann die stammfunktion von [mm] \bruch{sin(kx)}{k}?
[/mm]
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> ohhww bin ich blöd sry
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> für [mm]a_{0}[/mm] habe ich jetzt [mm]\bruch{4}{3} \pi^2[/mm]
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> das was ich gemacht habe war für [mm]a_{k}.[/mm] Wäre es dann
> soweit richtig und was ist dann die stammfunktion von
> [mm]\bruch{sin(kx)}{k}?[/mm]
[mm] -\frac{\cos(kx)}{k^2} [/mm] (mit linearer Substitution y = kx)
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> Wir betrachten die [mm]2\pi[/mm] periodische Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> mit [mm]f(x)=\pi^2-x^2[/mm] für [mm]-\pi \le x\le \pi.[/mm] Bestimmen sie
> die Fourier Reihe von f.
> Hallo,
>
> ich habe gerade irgendwie den roten Faden verloren.
>
> Also als erstes muss ich doch [mm]a_{0}[/mm] bestimmen.
>
> D.h.
>
> [mm]a_0=\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx} \pi^2-x^2[/mm]
> cos(kx)
>
> jetzt benutze ich die partielle integration
>
> f(x)= [mm]\pi^2-x^2[/mm] f'(x)=-2x g'(x)=cos (kx)
> [mm]g(x)=\bruch{sin(kx)}{k}[/mm]
>
>
> hieraus folgt also:
>
> [mm]\pi^2-x^2*\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{sin(kx)}{k}*-2x[/mm]
>
>
> ist das bis hierhin richtig? Wenn ja, würde ich hier
> nochmal die partielle integration anwenden. Was ist aber
> die Stammfunktion von [mm]\bruch{sin(kx)}{k}??[/mm]
>
ist soweit richtig, außer das m das [mm] \pi^2-x^2 [/mm] eine Klammer sollte
>
> Gruß Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
ok dann mach ich hier mal weiter:
wir haben bis jz:
[mm] \pi^2-x^2\cdot{}\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{sin(kx)}{k}\cdot{}-2x [/mm] =
[mm] \pi^2-x^2\cdot{}\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-(-\bruch{cos(kx)}{k^2}*(-2x))|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}-\bruch{cos(kx)}{k^2}-2
[/mm]
dieminus zwei kann ich dann vor das integral ziehen, d.h. ich muss nur noch [mm] -\bruch{cos(kx)}{k^2} [/mm] aufleiten und die grenzen einsetzen.
Ich habe das mal mit der substitution gemacht, wie du es gesagt hast
u=kx
dh
[mm] -\bruch{cos(u)}{k^2}*\bruch{1}{k}du=-\bruch{cos(u)}{k^3}
[/mm]
aber ab hier komme ich irgendwie nicht weiter :-S
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> ok dann mach ich hier mal weiter:
>
> wir haben bis jz:
>
> [mm]\pi^2-x^2\cdot{}\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}\bruch{sin(kx)}{k}\cdot{}-2x[/mm]
> =
>
>
> [mm]\pi^2-x^2\cdot{}\bruch{sin(kx)}{k}|^{\pi}_{-\pi}-(-\bruch{cos(kx)}{k^2}*(-2x))|^{\pi}_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{\pi}-\bruch{cos(kx)}{k^2}-2[/mm]
>
> dieminus zwei kann ich dann vor das integral ziehen, d.h.
> ich muss nur noch [mm]-\bruch{cos(kx)}{k^2}[/mm] aufleiten und die
> grenzen einsetzen.
sieht soweit gut aus
>
> Ich habe das mal mit der substitution gemacht, wie du es
> gesagt hast
>
> u=kx
>
> dh
>
> [mm]-\bruch{cos(u)}{k^2}*\bruch{1}{k}du=-\bruch{cos(u)}{k^3}[/mm]
>
>
> aber ab hier komme ich irgendwie nicht weiter :-S
das [mm] k^3 [/mm] im Nenner ist doch nur ne Konstante und stört nicht. Damit
[mm] \int-\bruch{cos(u)}{k^3}du=-\bruch{sin(u)}{k^3}=-\bruch{sin(kx)}{k^3}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Laura87 |
d.h. also
[mm] (\pi^2-x^2*\bruch{sin(kx)}{k})-(-\bruch{cos(kx)}{k^2}*(-2x))+2(-\bruch{sin(kx)}{k^3})|^\pi_{-\pi}
[/mm]
obere - untere Grenze
d.h.
[mm] (2\pi\bruch{cos(k\pi)}{k^2}-2\bruch{sin(k\pi)}{k^3})-(2\pi^2\bruch{sin(kx)}{k}+2\pi\bruch{cos(k-\pi)}{k^2}-2\bruch{sin(k-\pi)}{k^3})=
[/mm]
[mm] 2\pi^2\bruch{sin(kx)}{k}
[/mm]
mit dem [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] ist [mm] a_k= 2\pi \bruch{sin(kx)}{k}
[/mm]
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> d.h. also
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> [mm](\pi^2-x^2*\bruch{sin(kx)}{k})-(-\bruch{cos(kx)}{k^2}*(-2x))+2(-\bruch{sin(kx)}{k^3})|^\pi_{-\pi}[/mm]
>
> obere - untere Grenze
>
> d.h.
>
> [mm](2\pi\bruch{cos(k\pi)}{k^2}-2\bruch{sin(k\pi)}{k^3})-(2\pi^2\bruch{sin(kx)}{k}+2\pi\bruch{cos(k-\pi)}{k^2}-2\bruch{sin(k-\pi)}{k^3})=[/mm]
> [mm]2\pi^2\bruch{sin(kx)}{k}[/mm]
>
> mit dem [mm]\bruch{1}{\pi}[/mm] ist [mm]a_k= 2\pi \bruch{sin(kx)}{k}[/mm]
>
Das Prinzip stimmt schon, aber es sind noch ein paar Fehler drin.
Im ersten Teil hast du falsch geklammert: [mm] (\pi^2-x^2)*\bruch{sin(kx)}{k}
[/mm]
Ab der unteren Grenze kriegst du nicht [mm] k-\pi, [/mm] sondern [mm] -k*\pi.
[/mm]
Und das x muss nach dem einsetzen der Grenzen komplett verschwinden, also nicht sin(kx), sondern [mm] sin(k\pi)
[/mm]
Und dann musst du dir noch überlegen, welche Werte [mm] sin(\pm k\pi) [/mm] und [mm] cos(\pm k\pi) [/mm] für [mm] k\in\IN [/mm] annehmen.
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