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Hallo,
ich habe zwei Fragen zu Fourier-Reihen die sowohl die komplexe, als auch die Reelle Darstellung betreffen. Dabei geht um die Zusammenhänge zwischen der Entwicklung in der Papula-Formelsammlung und Entwicklung meines Profs.
Es ist nicht schwierig, aber ich steh grad total auf dem Schlauch.
I Komplexe Darstellung:
Papula:
f(x)= [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}*e^{jnx}
[/mm]
mit
[mm] c_{n}= \bruch{1}{2\pi}* \integral_{0}^{2\pi} {f(x)*e^{-jnx} dx}
[/mm]
mein Prof:
x(t)~ [mm] \summe_{k \varepsilon \IZ}^{} c_{k}*e^{jwkt}, [/mm] w= [mm] \bruch{2\pi}{T}
[/mm]
mit
[mm] c_{k}= \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {x(t)*e^{-jwkt} dt}
[/mm]
Meine Fragen hierzu:
1. Wie hängen bei den beiden Darstellungen die Exponenten von e zusammen?? Muss ja irgendwas mit w zu tun haben.
2. wie erklären sich bei [mm] c_{n} [/mm] bzw. c*_{k} die unterschiedlichen Faktoren vor dem Integral [mm] (\bruch{1}{2/pi} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{T})?
[/mm]
II Reelle Darstellung:
Papula:
[mm] f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+ \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}*cos(nx)+b_{n}*sin(nx)
[/mm]
mit
[mm] a_{0}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {f(x) dx}
[mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {f(x)*cos(nx) dx}
[mm] b_{n}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {f(x)*sin(nx) dx}
mein Prof:
[mm] x(t)~a_{0}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}*cos(wkt)+b_{k}*sin(wkt)
[/mm]
mit
[mm] a_{0}=\bruch{1}{T}* \integral_{0}^{T} [/mm] {x(t) dt}
[mm] a_{k}=\bruch{2}{T}* \integral_{0}^{T} [/mm] {x(t)*cos(kwt) dt}
[mm] b_{k}=\bruch{2}{T}* \integral_{0}^{T} [/mm] {x(t)*sin(kwt) dt}
Meine Fragen hierzu:
1. Darstellung der Fourierreihe: Warum wird beim Papula [mm] a_{0} [/mm] durch 2 geteilt und bei meinem Prof nicht.
2. Warum stehen haben die Fourier-Koeffizienten bei der Paula-Darstellung und der meines Profs unterschiedliche Faktoren vorm Integral?
[mm] (\bruch{1}{\pi} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{T} [/mm] oder gar [mm] \bruch{2}{T})
[/mm]
3. Wie erklären sich die unterschiedlichen Grenzen der Integrale?
4. Wie erklären sich die unterschieldichen Argumente von sin und cos bei den Darstellungen?
Hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt. Wie ihr seht begreif ich einfach den Zusammenhang zwischen beiden Darstellungen nicht.
Hoffe ihr könnt mir da helfen
Vielen Dank schonmal im Voraus!!
gruß
Matthias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo matthias82,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> I Komplexe Darstellung:
>
> Papula:
> f(x)= [mm]\summe_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}*e^{jnx}[/mm]
> mit
> [mm]c_{n}= \bruch{1}{2\pi}* \integral_{0}^{2\pi} {f(x)*e^{-jnx} dx}[/mm]
>
> mein Prof:
> x(t)~ [mm]\summe_{k \varepsilon \IZ}^{} c_{k}*e^{jwkt},[/mm] w=
> [mm]\bruch{2\pi}{T}[/mm]
> mit
> [mm]c_{k}= \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {x(t)*e^{-jwkt} dt}[/mm]
>
> Meine Fragen hierzu:
>
> 1. Wie hängen bei den beiden Darstellungen die Exponenten
> von e zusammen?? Muss ja irgendwas mit w zu tun haben.
> 2. wie erklären sich bei [mm]c_{n}[/mm] bzw. c*_{k} die
> unterschiedlichen Faktoren vor dem Integral
> [mm](\bruch{1}{2/pi}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{T})?[/mm]
>
Es gilt ja die Formel [mm]\omega \;T\; = \;2\;\pi [/mm], wobei [mm]\omega[/mm] die Kreisfrequenz und [mm]T[/mm] die Periode ist.
Papula verwendet die spezielle Periode [mm]T\;=2\;\pi[/mm], während Dein Prof. die Periode T als allgemein ansetzt.
>
> II Reelle Darstellung:
>
> Papula:
> [mm]f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+ \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}*cos(nx)+b_{n}*sin(nx)[/mm]
>
> mit
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi}[/mm] {f(x) dx}
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi}[/mm] {f(x)*cos(nx)
> dx}
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{\pi}* \integral_{0}^{2\pi}[/mm] {f(x)*sin(nx)
> dx}
>
> mein Prof:
> [mm]x(t)~a_{0}+ \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}*cos(wkt)+b_{k}*sin(wkt)[/mm]
>
> mit
> [mm]a_{0}=\bruch{1}{T}* \integral_{0}^{T}[/mm] {x(t) dt}
> [mm]a_{k}=\bruch{2}{T}* \integral_{0}^{T}[/mm] {x(t)*cos(kwt) dt}
> [mm]b_{k}=\bruch{2}{T}* \integral_{0}^{T}[/mm] {x(t)*sin(kwt) dt}
>
> Meine Fragen hierzu:
>
> 1. Darstellung der Fourierreihe: Warum wird beim Papula
> [mm]a_{0}[/mm] durch 2 geteilt und bei meinem Prof nicht.
Bei Papula ist [mm]a_{0}[/mm] so definiert:
[mm]a_{0} \; = \;2\;\widetilde{a_{0} }\; = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_{0}^{2\;\pi } {f\left( x \right)\;dx} [/mm]
> 2. Warum stehen haben die Fourier-Koeffizienten bei der
> Paula-Darstellung und der meines Profs unterschiedliche
> Faktoren vorm Integral?
> [mm](\bruch{1}{\pi}[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{T}[/mm] oder gar [mm]\bruch{2}{T})[/mm]
> 3. Wie erklären sich die unterschiedlichen Grenzen der
> Integrale?
> 4. Wie erklären sich die unterschieldichen Argumente von
> sin und cos bei den Darstellungen?
>
Siehe die Erklärungen unter komplexer Darstellung.
Gruß
MathePower
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