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| Aufgabe | Bestimmen Sie die ersten drei Fourierkoeffizienten der auf dem Intervall 0 <= x <= 2 pi gegeben Funktion: [mm]f(x) = x^2[/mm]
mit der Periode 2 Pi |
Guten Abend,
ich sitze gerade vor der Aufgabe, und weiß einfach nicht, wie ich anfangen soll..
Unser Prof hatte das nur auf die Schnelle erklärt, aber die Aufgabe lässt mir irgendwie keine Ruhe.
Es hapert schon daran, weil ich nicht weiß, wie ich anfangen soll.
Klar, die Grundformel der Fourierreihen hab ich, aber ich weiß nicht, wie ich beginnen soll..
Ich bin so weit gekommen, das ich weiß, das es eine gerade Funktion ist, also somit ist [mm]b_n=0[/mm] - oder? *g*
Bin für jede Hilfestellung dankbar.
Viele Grüße und einen schönen abend.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die ersten drei Fourierkoeffizienten der auf
> dem Intervall 0 <= x <= 2 pi gegeben Funktion: [mm]f(x) = x^2[/mm]
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> mit der Periode 2 Pi
> Klar, die Grundformel der Fourierreihen hab ich, aber ich
> weiß nicht, wie ich beginnen soll..
>
> Ich bin so weit gekommen, das ich weiß, das es eine gerade
> Funktion ist, also somit ist [mm]b_n=0[/mm] - oder? *g*
Hallo,
ja. EDIT: nein, siehe meine nächste Antwort.
Nun schreib doch mal auf, was Du für die Fourierkoeffizienten [mm] a_n [/mm] ausrechnen mußt, damit wir hier mal was in der Hand haben, worüber wir reden.
Gruß v. Angela
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also,
ich hab ein bissl rumprobiert, aber ich befürchte, dass es total in die Hose gegangen ist.
Ich hab wie folgt gerechnet:
[mm]
a_n = \bruch{2}{2Pi} \integral_{0}^{2Pi} x^2 * sin \bruch {2Pi}{p} nx dx
a_n = \bruch{1}{pi} \integral_{0}^{2Pi} x^2 sin (1) nx dx = - \bruch{1}{n} x^2 cos (1) nx + \bruch{1}{n} \integral cos nx
u= x^2 \qquad v'= sin nx
u' = 2x \qquad v = - (1/n) * cos nx
a_n= [- \bruch{1}{n} x^2 cos nx + (\bruch{1}{n})^2 sin nx ] _0 ^{2Pi}
[/mm]
vielen Dank im voraus!
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Hallo,
zunächst einmal muß ich gestehen, daß ich zuvor was falsch gesagt habe:
die Funktion ist doch gar nicht gerade!
Du betrachtest doch die Funktion [mm] $f:[0,2\pi]\to \IR [/mm] $ mit [mm] f(x):=x^2, [/mm] welche dann periodisch fortgesetzt wird.
Dieses Funktionenstück über [mm] [0,2\pi] [/mm] wird also verschoben, und dies ist mitnichten symmetrisch zur y-Achse.
Wenn Du hättest [mm] $f:[-\pi,\pi]\to \IR [/mm] $ mit [mm] f(x):=x^2, [/mm] dann hättest Du eine gerade Funktion.
>
>
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{2Pi} \integral_{0}^{2Pi} x^2 [/mm] * sin [mm] \bruch {2Pi}{2\pi} [/mm] nx dx
Ist bei Euch [mm] a_n [/mm] wirklich mit sin?
Du rechnest dort nämlich gerade aus, was bei mir und meinen Büchern [mm] b_n [/mm] wäre.
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{pi} \integral_{0}^{2Pi} x^2 [/mm] sin (1) nx dx = - [mm] \bruch{1}{n} x^2 [/mm] cos (1) nx + [mm] \bruch{1}{n} \integral [/mm] cos nx
Du hast im 2.Integral den Faktor 2x unterschlagen, und das hat natürlich Auswirkungen.
Aber rein vom Prinzip her geht das so, daß Du zuerst die Fourierkoeffizienten berechnest, und dafür muß Du die entsprechenden Integrale knacken.
Gruß v. Angela
u= [mm] x^2 \qquad [/mm] v'= sin nx
u' = 2x [mm] \qquad [/mm] v = - (1/n) * cos nx
[mm] a_n= [/mm] [- [mm] \bruch{1}{n} x^2 [/mm] cos nx + [mm] (\bruch{1}{n})^2 [/mm] sin nx ] _0 ^{2Pi}
>
>
> vielen Dank im voraus!
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Du hast natürlich vollkommen recht, ich hab bei der Formelsammlung falsch geguckt gehabt..
Ich hab das ganze jetzt nochmal von vorne ausgerechnet, bin mir aber noch unsicherer als beim ersten Mal.
[mm]
b_n=\bruch {1}{Pi} \integral _0 ^{2Pi} x^2 sin(1) nx dx = \bruch -{1}{n} x^2 cos nx - \integral _0 ^{2Pi} 2x * (-\bruch{1}{n}) * cos nx
[/mm]
=>
irgendwie will er die Darstellung nich machen, schreibt alles unter einem bruch, deswegen probier ich es mal so:
(1/Pi) * (- 1 / n) * [mm] x^2 [/mm] cos nx + (1 / n) * sin nx
in den Grenzen von 0 bis 2 Pi
[mm]
= (2Pi)^2 cos Pi n
[/mm]
der zweite Teil der Integration, also wo 0 eingesetzt wird, löst sich auf, oder?
Vielen Dank
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Hallo,
so, wie Du es jetzt dastehen hast, finde ich es ungeheuer beschwerlich, das nachzuvollziehen.
Bitte schau bei den Eingabehilfen unterhalb des Eingabefensters, wie Du [mm] \pi [/mm] hinbekommst, und Brüche sind eigentlich auch kein Problem: \ bruch (ohne Abstand) und dann in die erste geschweifte Klammer den Zähler und in die zweite den Nenner.
Wenn Du partiell integrierst, schreib dazu, wie Du das machst, was Du erhältst.
Vergiß nicht, die notwendigen Klammern zu setzen.
Kurz: schreib es so auf, daß es leserlich ist, und daß man zum Nachschauen nicht Stift und Papier in die Hand nehmen muß.
Schließlich wollen wir nur nachrechnen und nicht selber rechnen.
Mein Endergebnis für [mm] a_n [/mm] lautet [mm] a_n=-\bruch{4\pi}{n} [/mm] - aber ohne Gewähr.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 09.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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