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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Di 26.10.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo!
Wir haben gerade mit Fourier-Reihen angefangen und folgende Sätze gehabt:
1) Ist f eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] gerade Funktion [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] so gilt für das n-te Fourier-Polynom [mm] S_n(f):
[/mm]
[mm] S_n(f)= a_0/2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (a_k*cos(kx)), [/mm] also [mm] b_k=0.
[/mm]
2)Ist f eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] ungerade Funktion [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] so gilt für das n-te Fourier-Polynom [mm] S_n(f):
[/mm]
[mm] S_n(f)= \summe_{k=1}^{n} (b_k*sin(kx)), [/mm] also [mm] a_k=0.
[/mm]
Also gerade Funktion heißt f(x)=f(-x) und ungerade f(x)=-f(x).
Nun komme ich nicht von gerader bzw. ungerader Funktion zu dem Schluss, dass [mm] a_k [/mm] bzw. [mm] b_k [/mm] 0 sein soll...
Also f(x) steht ja in den Definitionen drin:
[mm] a_k=1/(\pi)*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}
[/mm]
[mm] b_k=1/(\pi)*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*sin(kx) dx}
[/mm]
Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben? Das wäre super!!!
Viele Grüße
mathiko
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Hallo mathiko,
> Hallo!
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> Wir haben gerade mit Fourier-Reihen angefangen und folgende
> Sätze gehabt:
>
> 1) Ist f eine [mm]2\pi-periodische[/mm] gerade Funktion [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> so gilt für das n-te Fourier-Polynom [mm]S_n(f):[/mm]
> [mm]S_n(f)= a_0/2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} (a_k*cos(kx)),[/mm] also
> [mm]b_k=0.[/mm]
>
> 2)Ist f eine [mm]2\pi-periodische[/mm] ungerade Funktion [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR,[/mm]
> so gilt für das n-te Fourier-Polynom [mm]S_n(f):[/mm]
> [mm]S_n(f)= \summe_{k=1}^{n} (b_k*sin(kx)),[/mm] also [mm]a_k=0.[/mm]
>
> Also gerade Funktion heißt f(x)=f(-x) und ungerade
> f(x)=-f(x).
>
> Nun komme ich nicht von gerader bzw. ungerader Funktion zu
> dem Schluss, dass [mm]a_k[/mm] bzw. [mm]b_k[/mm] 0 sein soll...
Nun, allgemein gilt ja:
[mm]S_n(f)=\bruch{a_{0}}{2} + \summe_{k=1}^{n} a_{k}*cos(kx)+b_{k}*sin(kx)[/mm]
Vergleiche hier im Fall einer geraden Funktion [mm]S_{n}\left(f\left(x\right)\right)[/mm] mit [mm]S_{n}\left(f\left(-x\right)\right)[/mm]
Und poste dann die Rechenschritte, wie weit Du kommst.
> Also f(x) steht ja in den Definitionen drin:
> [mm]a_k=1/(\pi)*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*cos(kx) dx}[/mm]
>
> [mm]b_k=1/(\pi)*\integral_{0}^{2\pi}{f(x)*sin(kx) dx}[/mm]
>
> Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> geben? Das wäre super!!!
>
> Viele Grüße
> mathiko
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Mi 27.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft Dir das weiter: da f [mm] 2\pi [/mm] - periodisch ist gilt:
$ [mm] a_k=1/(\pi)\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}= 1/(\pi)\cdot{}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}cos(kx) dx}$
[/mm]
und
$ [mm] b_k=1/(\pi)\cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{f(x)\cdot{}sin(kx) dx} =1/(\pi)\cdot{}\integral_{- \pi}^{\pi}{f(x)\cdot{}sin(kx) dx} [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo, erstmal danke für eure Antworten!!!
Ich komme irgendwie nicht auf einen grünen Zweig:
Ich setzte [mm] S_n(f(x))=S_n(f(-x)).
[/mm]
[mm] a_0/2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n}a_k*cos(kx)+b_k*sin(kx)=a_0/2 +\summe_{k=1}^{n}a_k*cos(-kx)+b_k*sin(-kx)
[/mm]
[mm] a_0/2 [/mm] kürzt sich weg und ich setzte die Definitionen für [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] ein:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(cos(kx)*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*cos(kx) dx}+sin(kx)*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*sin(kx) dx})=\summe_{k=1}^{n}(cos(-kx)*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(-x)*cos(-kx) dx}+sin(-kx)*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(-x)*sin(-kx) dx})
[/mm]
Irgendwie muss ich ja die Integrale lösen. Da f(x) aber nicht bestimmt ist, bleibt nur die partielle Integration.
Die jeweils 2mal ausgeführt, ergibt bei mir
[mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{f(-x)*cos(-kx) dx}=f(-x)*(-1/k*sin(-kx))-\integral_{-\pi}^{\pi}{f´(-x)*(-1/k*sin(-kx)) dx}
[/mm]
[mm] =f(-x)*(-1/k*sin(-kx))-(f(-x)*(-1/k*sin(-kx))-\integral_{-\pi}^{\pi}{f(-x)*1/(k^2)*cos(-kx) dx})
[/mm]
[mm] =1/(k^2)*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(-x)*cos(-kx) dx}
[/mm]
Das Integral kürzt sich weg und es bleibt [mm] a_k=1/(k^2)
[/mm]
Für das andere [mm] a_k=-1/(k^2) [/mm] und bei den [mm] b_k´s [/mm] das Gleiche.
Das kann ja nicht richtig sein. Wahrscheinlich habe ich falsch integriert oder bin trotz eurer Hilfe komplett auf dem falschen Weg.
Was mache ich falsch?
Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
unter teil mal das Integral von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] +\pi [/mm] in 2 Teile. wenn die Funktion sym. ist also f(x)=f(-x) dann wird der sin im ersten und 2 ten Integral mit den gleichen fktWerten multipliziert, er selbst hat aber entgegengesettes vorzeichen, d.h. die 2 Teilintegrale sind entgegengesetzt gleich. das gesmte Integral 0 dazu um es formal zu schreiben benutze sin(-x)=-sin(x)
dann überleg dasselbe mit cos(-x)=cos(x) und ungeraden Funktionen.
du musst (und kannst) kein einziges integral wirklich ausrechnen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Sa 30.10.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo leduart!
Jetzt habe ich es hinbekommen und (man lese und staune) verstehe nun auch die Zusammenhänge.
Ich sollte vielleicht mal die Integralgrundeigenschaften wiederholen. Das würde mir manchmal wohl einiges erleichtern...
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