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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 17:42 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe da einige Schwierigkeiten eine Aufgabe zu lösen, ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann!? Dabei geht es um das Abfallverhalten der Fourier-Koeffizienten.
Es bezeichnet [mm]C^{r}_{2 \pi} (\IR, \IC)[/mm] die Menge der [mm] 2\pi-periodischen [/mm] Funktionen [mm]f:\IR \to \IC[/mm], welche r-mal stetig differenzierbar sind.
Nun soll ich zeigen, dass
a) zu jedem [mm]f \in C^{r}_{2 \pi} (\IR, \IC)[/mm] eine Konstante [mm]c_{r}>0[/mm] existiert, so dass [mm]|f^{^}(k)|< \bruch{ c_{r}}{|k|^{r}} [/mm] [mm] \forall k \in \IZ\{0}[/mm] mit partieller Integration.
b) Gegeben sei ein [mm]r \in {0,1,2, usw.}[/mm] und eine Folge komplexer Zahlen [mm]{a_{k}}[/mm] [mm]k \in \IZ[/mm], so dass [mm]c>0[/mm] und [mm]s>r+1[/mm] existieren mit [mm]|a_{k}| \le \bruch{c}{|k|^{s}}[/mm] [mm] \forall k \in \IZ[/mm] ohne Null. Zeige, dass dann [mm]f(x) \equiv \summe_{k= -\infty}^{ \infty}(a_{k}e^{ikx})[/mm] eine Funktion aus [mm]C^{r}_{2 \pi} (\IR, \IC)[/mm] ist. Differenziere die Reihe zunächst gliedweise.
Ich habe hierzu leider keinen Ansatz, und hoffe auf gute Ideen, mit denen ich weiterrechnen kann. Im Voraus vielen Dank für Eure Mühen!
Gruß
[mm] \wurzel{\pi}
[/mm]
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Hallo Wurzelpi,
Die Fälligkeit ist ja schon ein wenig abgelaufen.
> a) zu jedem [mm]f \in C^{r}_{2 \pi} (\IR, \IC)[/mm] eine Konstante
> [mm]c_{r}>0[/mm] existiert, so dass [mm]|f^{^}(k)|< \bruch{ c_{r}}{|k|^{r}}[/mm]
> [mm]\forall k \in \IZ\{0}[/mm] mit partieller Integration.
Welche Norm sollen denn die Betragsstriche beim f andeuten?
Bist Du sonst irgendwie weitergekommen?
viele Grüße
mathemaduenn
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