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Fourier-Koeffizenten: Ergebnis-Kontrolle / Frage
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 19:08 So 01.05.2005
Autor: Samoth

Hallo,

ich hatte folgende Aufgabe zu lösen:

Man berechne die reellen und komplexen Fourier-Koeffizenten der 2-periodischen Funktion

[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix} 1+2x, & \mbox{für } -\bruch{1}{2} \le x \le 0 \\ 1-2x, & \mbox{für } 0 < x < \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{sonst in } [-1,1] \end{matrix}\right. [/mm]

Ich habe für  [mm] a_{n} = \bruch{2}{T} \integral_{-1/2}^{0} {(1+2x)\cos(n\omega x) dx} + \bruch{2}{T} \integral_{0}^{1/2} {(1-2x)\cos(n\omega x)dx} [/mm]
[mm] a_{n} = \bruch{-4\cos( \bruch{n \pi}{2}) + 4 }{ n^{2} \pi^{2}} [/mm]
und für [mm] b_{n} = \bruch{2}{T} \integral_{-1/2}^{0} {(1+2x)\sin(n\omega x) dx} + \bruch{2}{T} \integral_{0}^{1/2} {(1-2x)\sin(n\omega x) dx} [/mm]
[mm] b_{n} = 0 [/mm]

nun soll ich noch die komplexen Koeffizienten  [mm] c_{n} [/mm] berechnen.....
Das Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich diese nun berechnen kann, in der Vorlesung hatte wir den Satz:

[mm] f : \left[ 0,T \right] \to \IC \quad c_{n} = \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {f(x)e^{-in\omega x} dx} [/mm]
Wie würde ich hier vorgehen?

Außerdem habe ich noch eine Frage zu dieser Aufgabe:

[mm] g(x) = \summe_{k= -\infty}^{ \infty} f(x + k) [/mm]

falls [mm] f(x) = (e -1)e^{-\left| x \right|} [/mm], man berechne g in geschlossener Form. Was ist mit geschlossen gemeint bzw. wie würde ich hier vorgehen?

Ich würde euch sehr dankbar sein, wenn ihr mir bei diesen Aufgaben helfen könntet.

Viele Grüße,
Samoth

        
Bezug
Fourier-Koeffizenten: Eulersche Formel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:45 Mo 02.05.2005
Autor: MathePower

Hallo,

> [mm]f : \left[ 0,T \right] \to \IC \quad c_{n} = \bruch{1}{T} \integral_{0}^{T} {f(x)e^{-in\omega x} dx}[/mm]
>  
> Wie würde ich hier vorgehen?

  
bei Anwendung der Eulerschen Formel gilt:

[mm]\begin{gathered} c_{n} \; = \;\frac{1} {T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;e^{-in\omega x} } \;dx \hfill \\ = \;\frac{1} {T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;\cos \;n\omega x\;dx} \; - \;i\;\frac{1} {T}\;\int\limits_0^T {f(x)\;\sin \;n\omega x\;dx} \hfill \\ = \;a_{n} \; - \;i\;b_{n} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower

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