Fortsetzungssatz für Maße < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] \epsilon [/mm] := [mm] \{E \subset \IR: E \text{ endlich} \} [/mm] sowie μ : [mm] \epsilon \to [0,\infty] [/mm] mit μ(E) = 0 für alle [mm] E\in \epsilon. [/mm] Dann ist $R$ ein Ring und die von [mm] \epsilon [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist
[mm] \sigma(\epsilon)=\{A \subset \IR: A \text{ abzählrbar oder }A^c \text{ abzählbar} \}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass es unendlich viele verschiedene Fortsetzungen von μ zu Maßen auf [mm] \sigma(\epsilon) [/mm] gibt. |
Ich habe es erst folgendermaßen versucht: [mm] c\in\R [/mm] beliebig:
[mm] \mu(A):=\begin{cases} 0 &\text{ für A abzählbar} \\ card(A^c \cap \{c\})&\text{für }A^c \text{ abzählbar}\end{cases}
[/mm]
Doch damit klappt es nicht, denn [mm] \mu [/mm] ist kein Maß...
Hat jemand eine Idee, wie ich das Maß basteln muss?
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So, ich habs jetz selbst rausgefunden: Definiere [mm] \mu:\sigma(\epsilon)\to[0,\infty] [/mm] durch
[mm] \mu(A):=\begin{cases}0 &\text{für $A$ abzählbar} \\ c &\text{für $A^c$ abzählbar}\end{cases},
[/mm]
wobei [mm] $c\in \IR$ [/mm] beliebig. Es ist zwar etwas Arbeit zu zeigen, dass das ein Maß ist, aber es funktioniert.
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Man, wo kann man den hier eine Antwort schreiben? Finde das nicht!
So, ich habs jetz selbst rausgefunden: Definiere [mm] \mu:\sigma(\epsilon)\to[0,\infty] [/mm] durch
[mm] \mu(A):=\begin{cases}0 &\text{für A abzählbar} \\ c &\text{für } A^c \text{ abzählbar}\end{cases}, [/mm]
wobei [mm] c\in \IR [/mm] beliebig. Es ist zwar etwas Arbeit zu zeigen, dass das ein Maß ist, aber es funktioniert.
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Hallo Sorcerer,
als Fragesteller kannst du deine eigene Frage nicht beantworten.
Ich habe sie mal für dich auf "beantwortet" gestellt.
LG
schachuzipus
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