Fortsetzung eines Inhalts < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 Do 13.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich suche nach einer Fortsetzung eines Inhalts zu einem Maß, wobei dass Maß nicht eindeutig sein soll.
Ich habe folgendes Beispiel gefunden:
Betrachte als Erzeuger die halboffenen Intervalle (a,b] a,b [mm] \in \IQ [/mm] also die Borel-sigma-Algebra.
Wähle das Zählmaß und das Trivialmaß, welches jeder nichtleeren Mengen den Wert [mm] \infty [/mm] zuordnet.
Meine Fragen:
Also die beiden Maße sind nicht [mm] \sigma [/mm] -endlich. Der Inhalt um den es sich dreht ist definiert auf dem Halbring [der halboffenen Intervalle]. Die [mm] \sigma [/mm] -Algebra auf die fortgesetzt wird ist ja die [mm] Borel-\sigma-Algebra. [/mm]
Warum sollen denn jetzt die beiden Maße auf der erzeugten [mm] \sigma-Algebra [/mm] nicht übereinstimmen? Das Zählmaß ist doch [mm] \infty [/mm] für ein Element aus der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] und das Trivialmaß ja auch.
vielen dank für Hilfe
Gruß
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Huhu vivo,
dass beide Maße nicht übereinstimmen, kannst du doch einfach an einem Beispiel festmachen, wo die jeweiligen Maße ungleich sind.
Betrachte als Menge doch mal {a}, mit a [mm] \in \IQ. [/mm]
Das liegt in der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] und hat welches Maß?
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Fr 14.11.2008 | | Autor: | vivo |
> Huhu vivo,
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> dass beide Maße nicht übereinstimmen, kannst du doch
> einfach an einem Beispiel festmachen, wo die jeweiligen
> Maße ungleich sind.
>
> Betrachte als Menge doch mal {a}, mit a [mm]\in \IQ.[/mm]
> Das liegt in der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm] und hat welches Maß?
Danke erstaml für deine Antwort
[mm] \mu [/mm] := Zählmaß
[mm] \nu [/mm] := Trivialmaß
[mm] \mu (\{a\}) [/mm] = 1
[mm] \nu (\{a\}) [/mm] = [mm] \infty [/mm]
Aber 1.: Warum sollte [mm] \{a\} [/mm] in der [mm] Borel-\sigma-Algebra [/mm] liegen? Diese enthält doch nur alle möglichen Intervalle auf [mm] \IR [/mm] ....
2.: Eingeschränkt auf den Halbring der halboffenen Intervall müssten die beiden Maße dann ja gleich sein, denn sie sollen ja beide die Fortsetzung eines Inhalts auf diesem Halbring sein ... das sehe ich leider auch nicht.
vielen dank für weitere Hilfe
gruß
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Hallo,
> Aber 1.: Warum sollte [mm]\{a\}[/mm] in der [mm]Borel-\sigma-Algebra[/mm]
> liegen? Diese enthält doch nur alle möglichen Intervalle
> auf [mm]\IR[/mm] ....
in der Borelschen sigma-Algebra liegen ja auch die abgeschlossenen Intervall, also z.B. auch [a,a] = {a}. Wenn du es so aber nicht möchtest, dann betrachte die Vereinigeung der Intervalle [a, a + 1/n[. Da es sich um eine sigma-Algebra handelt, ist {a} = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} [/mm] [a, a + 1/n[ in der Borelschen sigma-Algebra. Hilft dir das?
> 2.: Eingeschränkt auf den Halbring der halboffenen
> Intervall müssten die beiden Maße dann ja gleich sein, denn
> sie sollen ja beide die Fortsetzung eines Inhalts auf
> diesem Halbring sein ... das sehe ich leider auch nicht.
>
> vielen dank für weitere Hilfe
>
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 14.11.2008 | | Autor: | vivo |
ja danke, dass hilft schon mal.
und welchen Wert haben die beiden Maße dann eingschränkt auf den Halbring [mm] I:=\{]a,b] : a,b \in \IR , a \le b \} [/mm]
den darauf eingeschränkt müsste der Wert der beiden Maße ja gleich sein, denn sie sollen ja beide die Fortsetzung eines Inhalts sein.
Aber dann eben als Maße auf der [mm] \sigma [/mm] -Algebra nicht die gleichen Werte haben, da sie nicht [mm] \sigma [/mm] -endlich sind.
danke nochmal
gruß
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Hallo,
> ja danke, dass hilft schon mal.
>
> und welchen Wert haben die beiden Maße dann eingschränkt
> auf den Halbring [mm]I:=\{]a,b] : a,b \in \IR , a \le b \}[/mm]
hhmm, ich denke, jetzt weiß ich worauf du hinaus willst. Eigentlich müsste beide (auf dem Halbring) das Maß unendlich haben. Das wiederum bedeutet aber, dass die einelementigen Mengen nicht im HALBRING liegen. Da der Halbring der halboffenen Intervalle, aber nicht mal ein Ring ist, müsste man das vielleicht zeigen können.
>
> den darauf eingeschränkt müsste der Wert der beiden Maße ja
> gleich sein, denn sie sollen ja beide die Fortsetzung eines
> Inhalts sein.
>
> Aber dann eben als Maße auf der [mm]\sigma[/mm] -Algebra nicht die
> gleichen Werte haben, da sie nicht [mm]\sigma[/mm] -endlich sind.
>
> danke nochmal
>
> gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Fr 14.11.2008 | | Autor: | vivo |
also mal sehen:
[mm] \mu [/mm] := Zählmaß
[mm] \nu [/mm] := Trivialmaß
[mm]I:=\{]a,b] : a,b \in \IR , a \le b \}[/mm]
[mm] \mu _{| I} = \infty [/mm]
[mm] \nu _{| I} = \infty [/mm]
auf [mm] \sigma (I) [/mm] zum Beispiel
[mm] \mu ({a}) = 1 [/mm]
[mm] \nu ({a}) = \infty [/mm]
also beide Maße eine Fortsetzung des Inhalts da eingeschränkt auf I gleich, aber keine eindeutiges Maß auf der [mm] Borel-\sigma-Algebra. [/mm] Begründung: beide Maße sind nicht [mm] \sigma [/mm] -endlich.
alles richtig soweit?
danke für deine Bemühungen.
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> also mal sehen:
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> [mm]\mu[/mm] := Zählmaß
> [mm]\nu[/mm] := Trivialmaß
>
> [mm]I:=\{]a,b] : a,b \in \IR , a \le b \}[/mm]
>
> [mm]\mu _{| I} = \infty[/mm]
> [mm]\nu _{| I} = \infty[/mm]
>
> auf [mm]\sigma (I)[/mm] zum Beispiel
>
> [mm]\mu ({a}) = 1[/mm]
> [mm]\nu ({a}) = \infty[/mm]
hier noch sagen warum, d.h. da die einelementigen Mengen jetzt mit drin sind.
> also beide Maße eine Fortsetzung des Inhalts da
> eingeschränkt auf I gleich, aber keine eindeutiges Maß auf
> der [mm]Borel-\sigma-Algebra.[/mm] Begründung: beide Maße sind nicht
> [mm]\sigma[/mm] -endlich.
Die Begründung ist nicht, dass sie nicht sigma-endlich sind, sondern das sie auf der Borel-sigma-Algebra nicht übereinstimmen. Wären Sie sigma-endlich könntest du mit dem 2. Fortsetzungssatz auf die Eindeutigkeit schließen.
> alles richtig soweit?
Ansonsten würde ich mitgehen.
Gruß, Steffen
>
> danke für deine Bemühungen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Fr 14.11.2008 | | Autor: | vivo |
Danke für deine Antworten.
gruß
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