Fortsetzung, Abschluss < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 24.06.2014 | | Autor: | Qight |
| Aufgabe 1 | Sei [mm] \emptyset \not= D \subset \IR [/mm] mit Abschluss [mm] \bar{D} [/mm] und sei [mm] f : D \to \IR [/mm] gleichmäßig stetig. Zeigen Sie:
i) Ist [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]D[/mm], so ist [mm](f(x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] \IR.
[/mm]
ii) f besitzt eine glaichmäßig stetige Fortsetzung in [mm] \bar{D}-
[/mm]
iii) Ist [mm]D[/mm] beschränkt, so ist [mm]f[/mm] beschränkt.
iv) Ist die Funktion [mm] g : (0,1) \to \IR, t \mapsto \bruch{1}{log (t) }[/mm] stetig, bzw. gleichmäßig stetig. |
| Aufgabe 2 | Also zu iii) habe ich glaube ich alles.
Bei den anderen Teilen bleibe ich hängen |
| Aufgabe 3 | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-beschränkt ist. |
So, ich denke dass ich die Aufgabe gelöst habe, hoffe nur auf Fehlerkorrektur und Verbesserungsvorschläge, was mathematische Begründungen angeht.
Sei [mm] f : [0,\infty) [/mm] mit [mm] [0,\infty) \subset \IR [/mm]
Nebenrechnung:
[mm] |\wurzel{x} - \wurzel{y} | \le \wurzel {|x - y| } [/mm], sei [mm] x \ge y [/mm]
[mm] \wurzel{x} - \wurzel{y} \le \wurzel{x - y} [/mm]
[mm] x - 2\wurzel{xy} + y \le x-y [/mm]
[mm] -2\wurzel{xy} \le -2y [/mm]
[mm] y \le \wurzel{xy} [/mm]
Da [mm] x \ge y [/mm] folgt, [mm] \wurzel{xy} \ge \wurzel{yy} = y [/mm], also gilt diese Ungleichung. Da mann in der Betragsgleichung die Bedingung auch für den umgekehrten Fall wählen kann trifft dass also auch für [mm] y \ge x [/mm] zu.
Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]x, x_0 \in [0,\infty)[/mm], so gibt es ein [mm] \delta [/mm] für dass gilt:
[mm]|x - x_0| < \delta [/mm]
[mm]|\wurzel{x} - \wurzel{x_0} | \le \wurzel{|x - y|} < \wurzel{\delta} = \epsilon[/mm]
Mit [mm] \delta := \epsilon^{2} [/mm]
Also ist [mm] f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] gleichmäßig stetig.
Lipschitz-beschränkt:
Wir nehmen an, dass Lipschitz-beschränkt gilt, also:
[mm] |f(x) - f(0)| \le L*|x - 0| [/mm]
[mm] |\wurzel{x} - \wurzel{0}| \le L*|x| [/mm]
[mm] \wurzel{x} \le L*|x| [/mm]
[mm] \bruch{\wurzel{x}}{x} \le L[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} \le L [/mm]
Da [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{\wurzel{x}} = \infty [/mm] gegen 0 keine reale (oder besser reele?) Zahl annimmt, findet man eine immer kleiner Zahl, so dass L ebenfalls keine reale Zahl ist.
Also ist [mm] f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x} [/mm] nicht Lipschitz-beschränkt.
Denke das es alles richtig ist, hoffe nur, dass auch die mathematisch Begründung soweit okay ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 25.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\emptyset \not= D \subset \IR[/mm] mit Abschluss [mm]\bar{D}[/mm] und
> sei [mm]f : D \to \IR[/mm] gleichmäßig stetig. Zeigen Sie:
> i) Ist [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]D[/mm], so ist
> [mm](f(x_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Cauchy-Folge in [mm]\IR.[/mm]
> ii) f besitzt eine glaichmäßig stetige Fortsetzung in
> [mm]\bar{D}-[/mm]
> iii) Ist [mm]D[/mm] beschränkt, so ist [mm]f[/mm] beschränkt.
> iv) Ist die Funktion [mm]g : (0,1) \to \IR, t \mapsto \bruch{1}{log (t) }[/mm]
> stetig, bzw. gleichmäßig stetig.
> Also zu iii) habe ich glaube ich alles.
>
> Bei den anderen Teilen bleibe ich hängen
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x}[/mm]
> gleichmäßig stetig, aber nicht Lipschitz-beschränkt
> ist.
>
> So, ich denke dass ich die Aufgabe gelöst habe, hoffe nur
> auf Fehlerkorrektur und Verbesserungsvorschläge, was
> mathematische Begründungen angeht.
>
> Sei [mm]f : [0,\infty)[/mm] mit [mm][0,\infty) \subset \IR[/mm]
>
> Nebenrechnung:
>
> [mm]|\wurzel{x} - \wurzel{y} | \le \wurzel {|x - y| } [/mm], sei [mm]x \ge y[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x} - \wurzel{y} \le \wurzel{x - y}[/mm]
> [mm]x - 2\wurzel{xy} + y \le x-y[/mm]
>
> [mm]-2\wurzel{xy} \le -2y[/mm]
> [mm]y \le \wurzel{xy}[/mm]
>
> Da [mm]x \ge y[/mm] folgt, [mm]\wurzel{xy} \ge \wurzel{yy} = y [/mm], also
> gilt diese Ungleichung. Da mann in der Betragsgleichung die
> Bedingung auch für den umgekehrten Fall wählen kann
> trifft dass also auch für [mm]y \ge x[/mm] zu.
>
>
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]x, x_0 \in [0,\infty)[/mm], so gibt es ein
> [mm]\delta[/mm] für dass gilt:
> [mm]|x - x_0| < \delta[/mm]
> [mm]|\wurzel{x} - \wurzel{x_0} | \le \wurzel{|x - y|} < \wurzel{\delta} = \epsilon[/mm]
>
> Mit [mm]\delta := \epsilon^{2}[/mm]
> Also ist [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x}[/mm]
> gleichmäßig stetig.
>
> Lipschitz-beschränkt:
> Wir nehmen an, dass Lipschitz-beschränkt gilt, also:
> [mm]|f(x) - f(0)| \le L*|x - 0|[/mm]
> [mm]|\wurzel{x} - \wurzel{0}| \le L*|x|[/mm]
>
> [mm]\wurzel{x} \le L*|x|[/mm]
> [mm]\bruch{\wurzel{x}}{x} \le L[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}} \le L[/mm]
>
> Da [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1}{\wurzel{x}} = \infty[/mm]
> gegen 0 keine reale (oder besser reele?) Zahl annimmt,
> findet man eine immer kleiner Zahl, so dass L ebenfalls
> keine reale Zahl ist.
> Also ist [mm]f : [0,\infty) \to \IR, x \to \wurzel{x}[/mm] nicht
> Lipschitz-beschränkt.
>
> Denke das es alles richtig ist, hoffe nur, dass auch die
> mathematisch Begründung soweit okay ist.
Diese Frage hast Du doch schon hier
https://matheraum.de/read?t=1026459
gestellt
FRED
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