Fortsetzbare Isometrie??? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Do 03.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
irgendwie hat sich hier optisch etwas verändert, oder spinne ich vielleicht nur? 
Ich habe mal wieder eine Aufgabe und leider überhaupt keinen Ansatz (schlimmer kann es ja nicht mehr werden...), also wäre ich schon froh, wenn ich irgendwie mal einen Ansatzpunkt finden könnte. Vielleicht wisst ihr ja etwas dazu:
Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] ein drei dimensionaler bilinearer Raum über einem Körper K; bezüglich einer geeigneten Basis [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] habe [mm] \beta [/mm] die Strukturmatrix
[mm] B^\beta (b_1, b_2, b_3) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} [/mm]
MAn zeige, dass sich der durch [mm] b_1 [/mm] -> [mm] b_3 [/mm] gegebene injektive metrische Homomorphismus [mm]\varphi : Lin({b_1}) -> V [/mm] nicht zu einer Isometrie V -> V fortsetzen lässt.
UND warum ist dies kein Widerspruch zu : (hat mit der Voraussetzung zu tun...)
Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] ein regulärer [mm] \epsilon-hermitescher [/mm] Raum, mit [mm] Char (k)\ne 2 [/mm] dann gilt wenn U,W zwei total isotrope Teilräume von V sind, mit dim(U)= dim(W), dann gibt es eine Isometrie [mm]\varphi : V -> V [/mm] mit [mm]\varphi(U) = W.
Also:diese Aufgabe gehört wohl zu dem "Satz von Witt"; und total isotrop ist folgendermaßen definiert:
- Ein Teilraum U von V heißt total isotrop, \beta(a,b)=0 [/mm] gilt und zwar für alle [mm] a,b\in U [/mm]
Außerdem ist bekannt, dass total isotrope Teilräume maximal dim =2 haben können...
So, mehr Wissen habe ich noch nicht zu bieten, falls sich etwas ändert, teile ich es mit  . Vielleicht fällt ja jemandem etwas dazu ein.
Ich bedanke mich schon mal, Cathrine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Do 03.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> irgendwie hat sich hier optisch etwas verändert, oder
> spinne ich vielleicht nur?
Ich wüsste nicht, was sich hier in letzter Zeit verändert haben sollte. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Ich habe mal wieder eine Aufgabe und leider überhaupt
> keinen Ansatz (schlimmer kann es ja nicht mehr werden...),
> also wäre ich schon froh, wenn ich irgendwie mal einen
> Ansatzpunkt finden könnte. Vielleicht wisst ihr ja etwas
> dazu:
>
> Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] ein drei dimensionaler bilinearer Raum
> über einem Körper K; bezüglich einer geeigneten Basis [mm] b_1, [/mm]
> [mm] b_2, b_3 [/mm] habe [mm] \beta [/mm] die Strukturmatrix
>
> [mm]B^\beta (b_1, b_2, b_3) = \begin{pmatrix}
> 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> MAn zeige, dass sich der durch [mm] b_1 [/mm] -> [mm] b_3 [/mm] gegebene
> injektive metrische Homomorphismus [mm]\varphi : Lin({b_1}) -> V[/mm]
> nicht zu einer Isometrie V -> V fortsetzen lässt.
Gäbe es eine Isometrie [mm] $\tilde{\varphi}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $\tilde{\varphi}|_{Lin(\{b_1\})} [/mm] = [mm] \varphi$,
[/mm]
dann müsste für alle $x,y [mm] \in [/mm] V$ insbesondere:
[mm] $\beta(\tilde{\varphi}(x),\tilde{\varphi}(y)) [/mm] = [mm] \beta(x,y)$
[/mm]
gelten.
Nun ist aber:
[mm] $\beta(\tilde{\varphi}(b_1), \tilde{\varphi}(b_2))$
[/mm]
$= [mm] \beta(\varphi(b_1), \tilde{\varphi}(b_2))$
[/mm]
$= [mm] \beta(b_3, \tilde{\varphi}(b_2))$
[/mm]
$=0$
und
[mm] $\beta(b_1,b_2) [/mm] = 1$,
also:
[mm] $\beta(\tilde{\varphi}(b_1), \tilde{\varphi}(b_2)) [/mm] = 0 [mm] \ne [/mm] 1 = [mm] \beta(b_1,b_2)$.
[/mm]
> UND warum ist dies kein Widerspruch zu : (hat mit der
> Voraussetzung zu tun...)
>
> Es sei [mm] (V,\beta) [/mm] ein regulärer [mm]\epsilon-hermitescher[/mm] Raum,
> mit [mm]Char (k)\ne 2[/mm] dann gilt wenn U,W zwei total isotrope
> Teilräume von V sind, mit dim(U)= dim(W), dann gibt es eine
> Isometrie [mm]\varphi : V -> V[/mm] mit [mm]\varphi(U) = W[/mm].
Weil [mm] $(V,\beta)$ [/mm] hier nicht regulär ist [mm] ($\beta$ [/mm] ist ja ausgeartet: es gilt: [mm] $\beta(b_3,x)= [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] V$).
Liebe Grüße
Julius
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