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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Di 18.07.2006 | | Autor: | Slimane |
Hi,
habe noch eine Formel, die ich vereinfacht habe, aber den Weg nicht wieder auffinden kann.
Vielleicht kann mich wieder jemand auf den richtigen Weg bringen.
Wo ich hin möchte ist folgender Term:
[mm] \bruch {2\Phi}{\Phi^2+1}
[/mm]
Mein Ausgang war:
[mm] sin\left(2*arcsin*\left(\bruch{1}{\wurzel{\Phi^2+1}}\right)\right)
[/mm]
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Grüße!
Dafür brauchst Du zweierlei: ein Additionstheorem und eine kleine Umformung mit Sinus und Cosinus.
1) Es gilt [mm] $\sin(x [/mm] + y) = [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] y + [mm] \sin [/mm] y [mm] \cos [/mm] x$.
Insbesondere ist daher [mm] $\sin(2x) [/mm] = 2 [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x$
2) Wegen [mm] $\sin^2 [/mm] x + [mm] \cos^2 [/mm] x = 1$ folgt [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sqrt{1 - \sin^2 x}$
[/mm]
Beides zusammen ergibt nun, was Du möchtest. Setze $x = [mm] \mbox{arcsin} \left( \frac{1}{\sqrt{\Phi^2 + 1}} \right)$, [/mm] dann folgt:
[mm] $\sin [/mm] (2x) = 2 [mm] \sin [/mm] x [mm] \cos [/mm] x = [mm] \frac{2}{\sqrt{\Phi^2 + 1}} \cos [/mm] x = [mm] \frac{2}{\sqrt{\Phi^2 + 1}} \sqrt{1 - \sin^2 x} [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{\Phi^2 + 1}} \sqrt{\frac{\Phi^2 + 1 - 1}{\Phi^2 + 1}} [/mm] = [mm] \frac{2 \Phi}{\Phi^2 + 1}$
[/mm]
Alles klar? 
Lars
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