Formelvereinfachung beweisen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 08.06.2006 | | Autor: | Slimane |
Hallo,
ich brauche dringend Hilfe beim Beweis meiner eigens vereinfachten Formel.
Gegeben ist der linke Teil der Formel. Durch probieren habe ich herausgefunden, dass dies genau das gleich ist wie der rechte Teil der Formel. Aber wie zum Henker kann ich das nachweisen, dass das seine Richtigkeit hat?
[mm] \bruch{\wurzel{12+4\wurzel{5}}}{5+\wurzel{5}}=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{5}}
[/mm]
Genau das Gleiche Problem hab ich bei folgender Vereinfachung:
Gegeben ist:
[mm] \tan \alpha [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}
[/mm]
Der Winkel ist demzufolge: [mm] \alpha [/mm] = 58,28252559°
Diesen Winkel verdoppel ich und erhalte: [mm] 2*\alpha=116,5650512°
[/mm]
Würde ich davon jetzt den [mm] \sin [/mm] ermitteln erhalte ich [mm] \sin \alpha [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
Wie weise ich die Richtigkeit rechnerisch nach?
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Hallo und guten Tag,
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> [mm]\bruch{\wurzel{12+4\wurzel{5}}}{5+\wurzel{5}}=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{5}}[/mm]
Wo ist das Problem ? Quadriere linke und rechte Seite:
[mm] \frac{12+4\cdot\sqrt{5}}{30+10\sqrt{5}}=\frac{4\cdot (3+\sqrt{5})}{10\cdot (3+\sqrt{5})} [/mm] = [mm] \frac{2}{5}
[/mm]
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>
> Genau das Gleiche Problem hab ich bei folgender
> Vereinfachung:
>
> Gegeben ist:
>
> [mm]\tan \alpha[/mm] = [mm]\bruch{1+\wurzel{5}}{2}[/mm]
Es ist doch [mm] \tan (\alpha)=\frac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)} [/mm] und
[mm] \sin^2 (\alpha)+\cos^2 (\alpha)=1
[/mm]
Lös die zweite Gl. nach Sinus auf, setz das in die Tanges-Gl ein und lös auf, Du bekommst laut meiner Rechnung:
[mm] \cos^2(\alpha) [/mm] = [mm] \frac{4}{10+2\cdot\sqrt{5}}
[/mm]
und somit
[mm] \sin^2(\alpha)=\frac{6+2\sqrt{5}}{10+2\sqrt{5}}
[/mm]
Mag sein, dass ich mich irgendwo verrechnet habe - der Ansatz jedoch sollte zum Ziel führen.
Gruss,
Mathias
>
> Der Winkel ist demzufolge: [mm]\alpha[/mm] = 58,28252559°
>
> Diesen Winkel verdoppel ich und erhalte:
> [mm]2*\alpha=116,5650512°[/mm]
>
> Würde ich davon jetzt den [mm]\sin[/mm] ermitteln erhalte ich [mm]\sin \alpha[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{\wurzel{5}}[/mm]
>
> Wie weise ich die Richtigkeit rechnerisch nach?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 08.06.2006 | | Autor: | Slimane |
Okay, danke ersteinmal.
Das Lösen des ersten Problems kann ich nachvollziehen (warum kam ich da nicht selber drauf - vielleicht zuviel nachgedacht)
Beim 2. Problem komm ich mit umformen auch zu deinem Ergebnis
[mm] \sin^2\alpha [/mm] = [mm] \bruch{3+\wurzel{5}}{5+\wurzel{5}} [/mm] (1)
Mein Problem ist nun, dass ich den Winkel [mm] \alpha [/mm] am Ende als [mm] 2\alpha [/mm] betrachte.
Sagen wir mal so: [mm] 2\alpha=\beta
[/mm]
Somit muss ich am Ende folgende herausbekommen: [mm] \sin\beta=\bruch{2}{\wurzel{5}}
[/mm]
Doch wie komm ich dann einen Schritt weiter als (1)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Do 08.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo slimane
sin(2x)=1/2*sinx*cosx das im Quadrat, da du die ja schon hat, fast alles kürzt sich bleibt das Quadrat deines Ergebnisses.
Woher kommst du auf die Vermutungen? Sind das Aufgaben?
Gruss leduart
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