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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:13 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Anfaenger101 |
| Aufgabe | Seien k [mm] \subseteq [/mm] K [mm] \subseteq [/mm] L endliche separable Körpererweiterungen.
Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm] N_k^L [/mm] = [mm] N_k^K \circ N_K^L [/mm]
und entsprechend [mm] Tr_k^L [/mm] = [mm] Tr_k^K \circ Tr_K^L [/mm] |
Hallo Leute,
ich hab mir das wiefolgt überlegt:
Schreibe [mm] Hom_K(L,\overline{k}) [/mm] = [mm] \{\gamma_1,...,\gamma_s\} [/mm] und
[mm] Hom_k(K,\overline{k}) [/mm] = [mm] \{\sigma_1,...,\sigma_r\}
[/mm]
(das geht, da die Körpererweiterungen endlich sind).
Aus der Algebra ist mir nun folgender Isomorphismus bekannt:
[mm] Hom_K(L,\overline{k}) \times Hom_k(K,\overline{k}) \to Hom_k(L,\overline{k})
[/mm]
[mm] (\gamma, \sigma) \mapsto \overline{\sigma} \circ \gamma
[/mm]
wobei [mm] \overline{\sigma}: \overline{k} \to \overline{k} [/mm] die Fortsetzung von [mm] \sigma [/mm] bezeichne (also [mm] \overline{\sigma}|_K [/mm] = [mm] \sigma)
[/mm]
Es gilt dann: [mm] Hom_k(L,\overline{k}) [/mm] = [mm] \{\overline{\sigma}_i \circ \gamma_j | i=1,..,r , j=1,...s\}
[/mm]
Damit folgt dann für x [mm] \in [/mm] L:
[mm] N_k^L(x) [/mm] = [mm] \produkt_{\mu \in Hom_k(L,\overline{k})} \mu(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i,j} (\overline{\sigma}_i \circ \gamma_j)(x) [/mm] = [mm] \produkt_{i} \overline{\sigma}_i (\produkt_{j} \gamma_j(x))
[/mm]
Damit ich hier aber dann den gewünschten Ausdruck [mm] N_k^L [/mm] = [mm] N_k^K \circ N_K^L [/mm] erhalte, müsste ich ja erst noch zeigen, dass [mm] \produkt_{j} \gamma_j(x) [/mm] ein Element aus K ist, weil dann kann ich jeweils für [mm] \overline{\sigma} [/mm] einfach [mm] \sigma [/mm] schreiben.
Da L [mm] \subseteq \overline{k} [/mm] eine algebraische Körpererweiterung und [mm] \overline{k} [/mm] algebraisch abgeschlossen ist, ist die Erweiterung [mm] \overline{k} [/mm] / L normal und damit wüsste ich schon mal, dass [mm] \gamma_j(L) [/mm] = L gilt.
Aber das reicht ja leider noch nicht, da L größer als K ist.
Hat jemand eine Idee, wie ich hier weitergekommen könnte?
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 13.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien k [mm]\subseteq[/mm] K [mm]\subseteq[/mm] L endliche separable
> Körpererweiterungen.
> Zeigen Sie, dass dann gilt: [mm]N_k^L[/mm] = [mm]N_k^K \circ N_K^L[/mm]
> und entsprechend [mm]Tr_k^L[/mm] = [mm]Tr_k^K \circ Tr_K^L[/mm]
>
> ich hab mir das wiefolgt überlegt:
> Schreibe [mm]Hom_K(L,\overline{k})[/mm] = [mm]\{\gamma_1,...,\gamma_s\}[/mm]
> und
> [mm]Hom_k(K,\overline{k})[/mm] = [mm]\{\sigma_1,...,\sigma_r\}[/mm]
> (das geht, da die Körpererweiterungen endlich sind).
>
> Aus der Algebra ist mir nun folgender Isomorphismus
> bekannt:
> [mm]Hom_K(L,\overline{k}) \times Hom_k(K,\overline{k}) \to Hom_k(L,\overline{k})[/mm]
> [mm](\gamma, \sigma) \mapsto \overline{\sigma} \circ \gamma[/mm]
> wobei [mm]\overline{\sigma}: \overline{k} \to \overline{k}[/mm] die
> Fortsetzung von [mm]\sigma[/mm] bezeichne (also [mm]\overline{\sigma}|_K[/mm]
> = [mm]\sigma)[/mm]
Das ist aber etwas unsauber. Es gibt nicht die Fortsetzung, sondern i.A. sehr, sehr viele. Du meinst wohl, dass du eine feste Fortsetzung waehlst.
> Es gilt dann: [mm]Hom_k(L,\overline{k})[/mm] =
> [mm]\{\overline{\sigma}_i \circ \gamma_j | i=1,..,r , j=1,...s\}[/mm]
>
> Damit folgt dann für x [mm]\in[/mm] L:
> [mm]N_k^L(x)[/mm] = [mm]\produkt_{\mu \in Hom_k(L,\overline{k})} \mu(x)[/mm]
> = [mm]\produkt_{i,j} (\overline{\sigma}_i \circ \gamma_j)(x)[/mm] =
> [mm]\produkt_{i} \overline{\sigma}_i (\produkt_{j} \gamma_j(x))[/mm]
>
> Damit ich hier aber dann den gewünschten Ausdruck [mm]N_k^L[/mm] =
> [mm]N_k^K \circ N_K^L[/mm] erhalte, müsste ich ja erst noch zeigen,
> dass [mm]\produkt_{j} \gamma_j(x)[/mm] ein Element aus K ist, weil
> dann kann ich jeweils für [mm]\overline{\sigma}[/mm] einfach [mm]\sigma[/mm]
> schreiben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da L [mm]\subseteq \overline{k}[/mm] eine algebraische
> Körpererweiterung und [mm]\overline{k}[/mm] algebraisch
> abgeschlossen ist, ist die Erweiterung [mm]\overline{k}[/mm] / L
> normal und damit wüsste ich schon mal, dass [mm]\gamma_j(L)[/mm] =
> L gilt.
Nein! Dazu braeuchtest du, dass $L/K$ normal ist. Was hier aber nicht vorausgesetzt ist.
Schau dir doch einfach mal die Definition von [mm] $N_{L/K}(x)$ [/mm] an und vergleiche das mit [mm] $\prod_j \gamma_j(x)$.
[/mm]
LG Felix
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