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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Formel von de Moivre
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Formel von de Moivre: Tipp
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 14:07 Do 31.10.2013
Autor: Lila_1

Aufgabe
Zeigen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme für cos und sin mittels Induktion die Formeln von de Moivre:
cos(n*x)= [mm] cos^n*x [/mm] - [mm] (((n(n-1))/1*2)*sin^2*x)*(cos^{n-2}*x) [/mm] +...

sin(n*x) = n*sin(x) * (cos^(n-1)*x) - (((n(n-1)*(n-2))/1*2*3)) * [mm] sin^3*x* [/mm] (cos^(n-3)*x) +...

Induktionsanfang ist mir klar
IA: für n = 0 ist
[mm] cos(1*x)=1=cos^1*x [/mm]
IV: somit gilt die Formel für ein festes n [mm] \in [/mm] N
IS: hier komm ich nicht weiter
kann mir jmd. einen Hinweis geben




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



        
Bezug
Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Do 31.10.2013
Autor: abakus


> Zeigen Sie unter Verwendung der Additionstheoreme für cos
> und sin mittels Induktion die Formeln von de Moivre:
> cos(n*x)= [mm]cos^n*x[/mm] - [mm](((n(n-1))/1*2)*sin^2*x)*(cos^{n-2}*x)[/mm]
> +...

>

> sin(n*x) = n*sin(x) * (cos^(n-1)*x) -
> (((n(n-1)*(n-2))/1*2*3)) * [mm]sin^3*x*[/mm] (cos^(n-3)*x) +...
> Induktionsanfang ist mir klar
> IA: für n = 0 ist
> [mm]cos(1*x)=1=cos^1*x[/mm]
> IV: somit gilt die Formel für ein festes n [mm]\in[/mm] N
> IS: hier komm ich nicht weiter
> kann mir jmd. einen Hinweis geben

Hallo,
der gewünschte Hinweis kann gegeben werden:
Du brauchst (wie schon in der Aufgabenstellung angegeben) die Additionstheoreme 
[]http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme

Für den Induktionsschritt benötigst du sie ganz speziell für sin(nx+x) und cos(nx+x).
Gruß Abakus

>
>
>
>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>
>

Bezug
        
Bezug
Formel von de Moivre: was ist unklar?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:19 Do 31.10.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Lila,

[willkommenmr] !!


Bitte stelle eine beantwortete Frage nicht unkommentiert wieder auf "unbeantwortet".

Was ist Dir noch unklar? Welche Frage hast Du noch?
Bitte formuliere diese konkreten Rückfragen, damit man Dir auch helfen kann.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Formel von de Moivre: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Fr 01.11.2013
Autor: Lila_1

ich weiß, dass ich die Addionstheoreme für den Induktionschritt benutzen muss , aber habe keinen Ansatz wie ich sie benutzen kann/soll.
Deshalb meine Frage, ob ihr mir ein Tipp geben könnt, wie ich anfangen soll.

Danke  

Bezug
                
Bezug
Formel von de Moivre: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:11 Fr 01.11.2013
Autor: abakus


> ich weiß, dass ich die Addionstheoreme für den
> Induktionschritt benutzen muss , aber habe keinen Ansatz
> wie ich sie benutzen kann/soll.
> Deshalb meine Frage, ob ihr mir ein Tipp geben könnt, wie
> ich anfangen soll.

>

> Danke

Induktionsvoraussetzung: die von dir genannten Formeln gilt für sin(n*x) bzw. cos(n*x).
Induktionsbehauptung: Sie gelten entsprechend für 
sin((n+1)*x) bzw. cos((n+1)*x).
Da aus dem Produkt (n+1)*x durch Ausmultiplizieren die SUMME n*x+x wird, sind wir also beim Sinus bzw. Kosinus einer SUMME angelangt, und für so etwas gibt es Additionstheoreme.
Also: sin(nx+x)=sin(nx)*cos(x)+cos(nx)*sin(x).
Und was sin(nx) bzw. cos(nx) angeblich ist, steht in deinen Induktionsvoraussetzungen.
Gruß Abakus

Bezug
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