Formel von Sylvester < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 11.05.2009 | | Autor: | hejaa |
Hallo,
ich sitz grad vor meinem Skript zur Wahrscheinlichkeitstheorie und komme mit der Formel von Sylvester nicht klar. Die lautet ja:
$ [mm] P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {A_i } } \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{i - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 < \cdots < k_i \leqslant n} {P\left( {A_{k_1 } \cap \cdots \cap A_{k_i } } \right)} } [/mm] $
Wie sieht denn diese Summe aus? Besonders die 2. Summe? Ich hab für n=4 durch Rechnen rausbekommen:
[mm] P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})= P(A_{1}) [/mm] + [mm] P(A_{2}) [/mm] + [mm] P(A_{3}) +P(A_{4}) [/mm] - [mm] P(A_{1}\cap A_{2}) [/mm] - [mm] P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) [/mm] - [mm] P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})
[/mm]
Ist da erstmal so richtig?
lg, hejaaaa
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:36 Di 12.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin hejaaaa,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nein, deine Interpretation ist nicht korrekt. Es gilt vielmehr
$ [mm] P(A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4})= P(A_{1}) [/mm] + [mm] P(A_{2}) [/mm] + [mm] P(A_{3}) +P(A_{4})$
[/mm]
$- [mm] P(A_{1}\cap A_{2}) -P(A_{1}\cap A_{3})-P(A_{1}\cap A_{4})-P(A_{2}\cap A_{3}) -P(A_{2}\cap A_{4}) -P(A_{3}\cap A_{4})$
[/mm]
$+ [mm] P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}) +P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{4})+P(A_{1}\cap A_{3}\cap A_{4})+P(A_{2}\cap A_{3}\cap A_{5})$
[/mm]
[mm] $-P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}) [/mm] $.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Di 12.05.2009 | | Autor: | hejaa |
Danke, luis . Hab meinen Fehler gefunden.
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Hallo Leute,
muss diese Aufgabe auch machen.
Ich versteh die rechte seite nicht.
was müsste denn für n=2 stehen?
Danke schonmal =)
[mm] \sum\limits_{i = 1}^n \left( { - 1} \right)^{i - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 < \cdots < k_i \leqslant n} {P\left( {A_{k_1 } \cap \cdots \cap A_{k_i } } \right)} [/mm]
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[mm] P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^n {A_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( { - 1} \right)^{i - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 < \cdots < k_i \leqslant n} {P\left( {A_{k_1 } \cap \cdots \cap A_{k_i } } \right)} } [/mm]
Für [mm]n=2[/mm] sieht das dann ja so aus
[mm] P\left( {\bigcup\limits_{i = 1}^2 {A_i } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^2 {\left( { - 1} \right)^{i - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 < \cdots < k_i \leqslant 2} {P\left( {A_{k_1 } \cap \cdots \cap A_{k_i } } \right)} } [/mm]
[mm]={\left( { - 1} \right)^{1 - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 \leqslant 2} {P\left( {A_{k_1 } } \right)} } +{\left( { - 1} \right)^{2 - 1} \sum\limits_{1 \leqslant k_1 < k_2 \leqslant 2} {P\left( {A_{k_1 } \cap A_{k_2 } } \right)} }[/mm]
[mm]=P(A_1)+P(A_2) -{ {P\left( {A_{1 } \cap A_{2 } } \right)} }[/mm]
Und das ist genau das gewünschte
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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