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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Do 15.10.2009 | | Autor: | haploid |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Formel von Moivre:
[mm] cos(4x) = 8 cos^4 x - 8 cos^2 x + 1 ~~ (x \in R) [/mm] . |
Hallo!
Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoß.
Ich dachte zuerst, dass das [mm] - 8 cos^2 x + 1 [/mm] hilfreich sein könnte, wegen [mm] sin^2 x + cos^2 x = 1 [/mm], aber da eine 8 davorsteht, geht das nicht so einfach.
Und für Moivre brauch ich doch Sinus und Cosiunus, oder?
Liebe Grüße!
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Hallo haploid,
> Zeigen Sie mit Hilfe der Formel von Moivre:
> [mm]cos(4x) = 8 cos^4 x - 8 cos^2 x + 1 ~~ (x \in R)[/mm] .
> Hallo!
> Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoß.
Berechne hier
[mm]\left(e^{ix}\right)^{4}=\left( \ \cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right) \ \right)^{4}[/mm]
mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes und bestimme davon den Realteil.
> Ich dachte zuerst, dass das [mm]- 8 cos^2 x + 1[/mm] hilfreich sein
> könnte, wegen [mm]sin^2 x + cos^2 x = 1 [/mm], aber da eine 8
> davorsteht, geht das nicht so einfach.
> Und für Moivre brauch ich doch Sinus und Cosiunus, oder?
>
> Liebe Grüße!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Do 15.10.2009 | | Autor: | haploid |
Hm.
Als Realteil hab ich [mm] cos^4 (x) - 6 cos^2 (x) sin^2 (x) + sin^4 (x) [/mm]
Und das ist ja [mm] (e^{ix})^4 [/mm].
Aber was bringt mir das?
Entschuldigen Sie, aber ich arbeite mit komplexen Zahlen erst seit gestern.
Danke und liebe Grüße.
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Hallo haploid,
> Hm.
> Als Realteil hab ich [mm]cos^4 (x) - 6 cos^2 (x) sin^2 (x) + sin^4 (x)[/mm]
>
> Und das ist ja [mm](e^{ix})^4 [/mm].
Richtig.
> Aber was bringt mir das?
Nun, nach der Formel von Moivre gilt:
[mm](e^{ix})^4=e^{i*4x}=\cos\left(4x\right)+i*\sin\left(4x\right)[/mm]
Dann gilt:
[mm]\cos\left(4x\right)=cos^4 (x) - 6 cos^2 (x) sin^2 (x) + sin^4 (x)[/mm]
Um das in die Form zu bringen, die in der Aufgabenstellung steht,
verwendest Du nun den trigonometrischen Pythagoras.
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> Entschuldigen Sie, aber ich arbeite mit komplexen Zahlen
> erst seit gestern.
Wir sind hier im Forum alle per "Du".
>
> Danke und liebe Grüße.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Do 15.10.2009 | | Autor: | haploid |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Jetzt hab ichs  !
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