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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Formel vereinfachen
Formel vereinfachen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Formel vereinfachen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:28 Do 28.04.2011
Autor: Raingirl87

Hallo!
Ich habe irgendwie ein Problem beim vereinfachen folgender Formel:

[mm]F^{2}=\bruch{(ad+bc)^{2}}{4}*[1-(\bruch{a^{2}+d^{2}-\bruch{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}{2ad})^{2}][/mm]    NB: [mm]\bruch{1}{2}(a+b+c+d)[/mm]=s

Durch Vereinfachen soll man auf F=[mm]\wurzel{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}[/mm] kommen.

Um in der eckigen Klammer erstmal das Quadrat an dem Doppelbruch weg zu bekommen habe ich entsprechend x²-y²=(x-y)(x+y)[x=1, y=der Doppelbruch] umgeformt und gleich in  jeder Klammer den Hauptnenner gebildet:

[mm]F^{2} = \bruch{(ad+bc)^{2}}{4} * [(\bruch{2ad-a^{2}-d^{2}+ \bruch{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}{2ad})*(\bruch{2ad+a^{2}+d^{2}- \bruch{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}{2ad})][/mm]

Habe dann weiter umgeformt und bin auf
[mm]F^{2}=(ad)^{2}*(ad+bc)^{4}*[((2ad-a^{2}-d^{2})(ad+bc)+(ac+bd)(ab+cd))*((2ad+a^{2}+d^{2})*(ad+bc)-(ac+bd)(ab+cd))][/mm]
gekommen. Habe dann alles eeewig ausmultipliziert aber ich komme leider nicht auf der Ergebis. Hat vielleicht jemand eine Idee, wie man auf das Ergebnis kommen könnte oder sieht einen Fehler bei mir? Danke schonmal!
LG, Raingirl87


        
Bezug
Formel vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Do 28.04.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

deine Idee ist schon nicht schlecht, nur konsequent weiter umformen:

$ [mm] F^{2} [/mm] = [mm] \bruch{(ad+bc)^{2}}{4} \cdot{} [(\bruch{2ad-a^{2}-d^{2}+ \bruch{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}{2ad})\cdot{}(\bruch{2ad+a^{2}+d^{2}- \bruch{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}{2ad})] [/mm] $

[mm] $=\left(\bruch{2ad(ad+bc) - a^2(ad+bc) - d^2(ad+bc) + (ac+bd)(ab+cd)}{4ad}\right)*\left(\bruch{2ad(ad+bc) + a^2(ad+bc) + d^2(ad+bc) - (ac+bd)(ab+cd)}{4ad}\right)$ [/mm]

$= [mm] \left(\bruch{2ad(ad+bc) - a^3d - a^2bc - ad^3 - bcd^2 + a^2bc + ac^2d + ab^2d + bcd^2}{4ad}\right) [/mm] * [mm] \ldots$ [/mm]

[mm] $=\left(\bruch{2ad(ad+bc) - a^3d - ad^3 + ac^2d + ab^2d}{4ad}\right) [/mm] * [mm] \ldots$ [/mm]

$= [mm] \left(\bruch{2(ad+bc) - a^2 - d^2 + c^2 + b^2}{2}\right) [/mm] * [mm] \ldots$ [/mm]

Das sieht doch schonmal besser aus :-)

Bezug
                
Bezug
Formel vereinfachen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Do 28.04.2011
Autor: Raingirl87

Hallo!
Danke! Unter dem letzten Bruch muss aber eine 4 stehen, oder?
Ich habe das jetzt ausmultipliziert:
[mm] F^{2}=\bruch{(8abcd+2a^{2}b^{2}+2a^{2}d^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}+2b^{2}d^{2}+2c^{2}d^{2}-a^4-b^4-c^4-d^4)}{16} [/mm]
Aber wie komme ich davon jetzt auf die Formel?
Ich müsste das ja jetzt irgendwie noch zu [mm]F^{2}=(\bruch{b+c+d-a}{2})(\bruch{a+c+d-b}{2})(\bruch{a+b+d-c}{2})(\bruch{a+b+c-d}{2})[/mm] umformen, hab aber leider keine Ahnung, wie ich das machen kann. :-(
LG, Raingirl87



Bezug
                        
Bezug
Formel vereinfachen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Do 28.04.2011
Autor: reverend

Hallo Raingirl,

das ist viel Schreibarbeit.
Multipliziere doch "einfach" die Zielformel aus und schau, ob das gleiche dabei herauskommt. Ich hab nur ein paar Stichproben gerechnet, aber die sehen alle gut aus.

Grüße
reverend


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