Formel der Chi-Quadrat-Verteil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:33 Mo 05.05.2008 | | Autor: | elisabeth0 |
| Aufgabe | Kurvendiskussion der Chi-Quadrat-Verteilung
a) Extrema, Wendepunkte?
b) Asymptoten, Symmetrie?
c) Wendetangenten
d) Fläche (Zuhilfenahme der Taylorreihe) |
Hallo, habe heute einen Wink mit dem Zaunpfahl bekommen, mir mal für die Matura die Chi-Quadrat-Verteilung anzukucken. Die Kurvendiskussion krieg ich alleine hin (das hat bei der Normalverteilung in der Übung auch prima geklappt), aber ich suche noch die Formel von der Chi-Qadtrat. Google spuckt nur eine ominöse Gamma-Funktion aus, mit der ich wenig anfangen kann. Hat jemand eine Formel ohne diese Gamma?
Dank euch sehr herzlich.
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Hallo elisabeth0,
> Kurvendiskussion der Chi-Quadrat-Verteilung
> a) Extrema, Wendepunkte?
> b) Asymptoten, Symmetrie?
> c) Wendetangenten
> d) Fläche (Zuhilfenahme der Taylorreihe)
> Hallo, habe heute einen Wink mit dem Zaunpfahl bekommen,
> mir mal für die Matura die Chi-Quadrat-Verteilung
> anzukucken. Die Kurvendiskussion krieg ich alleine hin (das
> hat bei der Normalverteilung in der Übung auch prima
> geklappt), aber ich suche noch die Formel von der
> Chi-Qadtrat. Google spuckt nur eine ominöse Gamma-Funktion
> aus, mit der ich wenig anfangen kann. Hat jemand eine
> Formel ohne diese Gamma?
>
> Dank euch sehr herzlich.
Die Dichteverteilung der Chi-Quadrat-Funktion ist
$ f(z)=\left\{\begin{matrix} A_n*z^{\bruch{n-2}{2}}*e^{-z/2}& \mbox{für } z > 0 \\ 0 & \mbox{für } z \le 0 \end{matrix}\right. $
, wobei sich die Normierungskonstante A_n mit Hilfe der Gammafunktion bestimmt:
$A_n = \bruch{1}{2^{\bruch{n}{2}}*\Gamma \left(\bruch{n}{2} \right)}$ ; (n= 1,2,3,4,...)
Für die Kurvendiskussion braucht man die Normierungskonstante aber nicht.
Extremwerte:
$f'(z) =A_n*\left(\bruch{n-2}{2}*z^{\bruch{n-4}{2}}-\bruch{1}{2}*z^{\bruch{n-2}{2}}\right)*e^{-z/2}=A_n*\left(\bruch{n-2}{2}*z^{-2}}-\bruch{1}{2}*z^{-1}\right)*z^{n/2}*e^{-z/2} =0$
ergibt:
z_1=0 (nicht definiert, da sämtliche Ableitungen 0 werden)
z_2=(n-2) ; da ja z>0 muss also n>2 sein.
Für n>2 existieren also ein Extremwert bei z=(n-2).
$f''(z) =A_n*\left(\bruch{(n-2)*(n-4)}{4}*z^{\bruch{n-6}{2}}-\bruch{n-2}{2}*z^{\bruch{n-4}{2}}+\bruch{1}{4}*z^{\bruch{n-2}{2}}\right)*e^{-z/2}$
$=A_n*\left(\bruch{(n-2)*(n-4)}{4}*z^{-3}-\bruch{n-2}{2}*z^{-2}+\bruch{1}{4}*z^{-1}\right)*z^{n/2}*e^{-z/2}$
Wenn man in die 2. Ableitung z=(n-2) einsetzt, wird der Klammerausdruck für n>2 negativ; also handelt es sich bei z=(n-2) um ein Maximum.
Für die Wendepunkte habe ich
$z = (n-2) \pm\wurzel{2(n-2)}$
Ab n=5 gibt es zwei Wendepunkte.
LG, Martinius
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