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Hallo!!!
ich bin schon seit´einer weile daran bei 2 Kurven,die um die x-Achse Rotieren die Oberfläche auszurechnenen!!!
Gibt es eine Formel, womit man die Oberfläche berechnen kann,wenn man x(y) gegeben hat und die Kurve aber um die x-Achse rotiert.
Also gerade umgekehrt wie üblich  !!!
MFG daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
> Hallo!!!
Hallo Daniel,
> ich bin schon seit´einer weile daran bei 2 Kurven,die um
> die x-Achse Rotieren die Oberfläche auszurechnenen!!!
>
> Gibt es eine Formel, womit man die Oberfläche berechnen
> kann,wenn man x(y) gegeben hat und die Kurve aber um die
> x-Achse rotiert.
Hast du jetzt die Funktion [mm] $x=f^{-1}(y)$ [/mm] gegeben und drehst um die $x$-Achse, oder hast du $y=f(x)$ gegeben und drehst um die $y$-Achse?
Da du meinst andersrum als üblich würde ich davon ausgehen, dass du eine normale Funktion $y=f(x)$ hast und diese statt um die $x$-Achse um die $y$-Achse drehen sollst. Normalerweise arbeitet man dann mit der Umkehrfunktion, weil man damit wieder die Formel bei Drehung um die $x$-Achse anwenden kann.
Bsp: Du sollst [mm] $y=f(x)=x^2$ [/mm] für [mm] $x\in[0;1]$ [/mm] um die $y$-Achse drehen. Statt dessen kannst du aber auch die Umkehrfunktion von $f$, also [mm] $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ [/mm] um die $x$-Achse drehen lassen für [mm] $x\in[f^{-1}(0); f^{-1}(1)]=[0; [/mm] 1]$. (Denn die Umkehrfunktion ist gespielgelt an der 1. Winkelhalbierenden.)
Jetzt kannst du das entsprechende Integral aufstellen und lösen - da die beiden Oberflächen gleich sind bist du fertig.
Max
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hallo Max!!ja so ähnlich meine ich das nur dass die Funktion komplizierter ist!!!
Es handelt sich um die eine Kurve die dir schon bekannt ist!!
Also: [mm] 2x=y*\wurzel{y²-1} [/mm] Ich soll es um die x-Achse rotieren lassen
Wenn ich durch umständliches umformen y(x) berechne und umforme komme ich auf ein ganz blödes Integral mit doppelter Wurzel, winkeffunktionen .....
Also wirklich blöd zum berechnen,obwohl ich ganz und gar nicht rechenscheu bin !!
So nun will ich eben x(y) um die x-Achse rotieren lassen!!!
x(y) = [mm] y/2*\wurzel{y²-1} [/mm] ich glaube von a=2 bis b=5 um die x-Achse rotieren lassen:
Kann ich x(y) um die y Achse rotieren lassen anstatt y(x) um die x-Achse??
daraus würde folgen: O= 2*Pi* [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {x(y)² dy}???
MFG daniel!!Danke für deine Tipps
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hmm, da würde ich sagen, dass das gehen müsste, denn die einzelnen Ring, die die Oberfläche bilden, werden ja durch [mm] $2\pi \cdot [/mm] x(y)$ errechnet, wenn man jetzt all diese Ringe von [mm] $y_1=a$ [/mm] bis [mm] $y_2=b$ [/mm] haben will müsste das genau das Integral [mm] $2\pi\cdot \int_a^b [/mm] x(y) dy$ sein.
Max
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Hallo nitro1185,
ich kann Dir folgende Formel anbieten:
[mm]O_{x} \; = \;2\pi \;\int\limits_{y_{1} }^{y_{2} } {y\;\sqrt {1\; + \;\left( {\frac{{dx}} {{dy}}} \right)^{2} } \;dy} [/mm]
Diese leitet sich aus der Formel für die Oberfläche eines Rotationskörpers, der durch Drehung von y(x) um die x-Achse erzeugt wird her:
[mm]O_{x} \; = \;2\pi \;\int\limits_{x_{1} }^{x_{2} } {y\;\sqrt {1\; + \;\left( {\frac{{dy}} {{dx}}} \right)^{2} } \;dx} [/mm]
Wird hier [mm]\frac{{dy}} {{dx}}\; = \;\left( {\frac{{dx}} {{dy}}} \right)^{ - 1} [/mm] und [mm]dx\; = \;\left( {\frac{{dx}} {{dy}}} \right)\;dy[/mm] gesetzt, so ergibt sich obige Formel.
Gruß
MathePower
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