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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
a) Bestimmen Sie jeweils den Folgengrenzwert mit Hilfe von Rechenregeln und bekannten Grenzwerten: i) [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \burch{1}{2^k}\vektor{k \\ p} [/mm] ii) [mm] b_{k}= \wurzel[k]{A^k+B^k} [/mm] mit A,B größer 0, iii) [mm] c_{k}= (\wurzel{k}(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}), \wurzel[k]{k^2+1}
[/mm]
b) Beweise Sie für jedes feste p Element [mm] \IN: \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1^p+2^p+...n^p}{n^(p+1)}= \bruch{1}{p+1}. [/mm] |
Wie lautet der Beginn dieser beiden Aufgaben? Bitte um Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 08.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> a) Bestimmen Sie jeweils den Folgengrenzwert mit Hilfe von
> Rechenregeln und bekannten Grenzwerten: i) [mm]a_{k}[/mm] =
> [mm]\burch{1}{2^k}\vektor{k \\ p}[/mm] ii) [mm]b_{k}= \wurzel[k]{A^k+B^k}[/mm]
> mit A,B größer 0, iii) [mm]c_{k}= (\wurzel{k}(\wurzel{k+1}-\wurzel{k}), \wurzel[k]{k^2+1}[/mm]
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> b) Beweise Sie für jedes feste p Element [mm]\IN: \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1^p+2^p+...n^p}{n^(p+1)}= \bruch{1}{p+1}.[/mm]
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> Wie lautet der Beginn dieser beiden Aufgaben? Bitte um
> Hilfe.
Hallo,
du hattest in deiner ersten Formel einen Schreibfehler, der mich kurz irritierte ("burch" statt "bruch"). Also:
[mm]\bruch{1}{2^k}\vektor{k \\ p}[/mm] [mm] =\bruch{1}{2^k}*\bruch{k(k-1)(k-2)...(k-p+1)}{p(p-1)...*3*2*1}
[/mm]
Was passiert, wenn sich k um 1 erhöht?
- der Nenner [mm] 2^k [/mm] verdoppelt sich
- der Zähler erhält einen neuen Faktor (k+1), verliert aber den Faktor (k-p+1) Er wächst damit auf das [mm] \bruch{k+1}{k-p+1} [/mm] -fache.
Dieser Wachstumsfaktor konvergiert gegen 1, während sich der Nenner munter weiter verdoppelt. Also: Nullfolge.
zu ii) [mm] \wurzel[k]{A^k+B^k}=\wurzel[k]{A^k(1+\bruch{B^k}{A^k})}=A(1+(\bruch{B}{A})^k)^\bruch{1}{k}
[/mm]
Hier sind wohl ein paar Fallunterscheidungen fällig (A>B, A=B, A<B).
Bei b) empfehle ich vollständige Induktion.
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:37 So 09.11.2008 | | Autor: | erisve |
huhu,
ja diese aufgaben mache ich auch gerade =)
also die ii) hab ich mit abschätzungen gemacht (wobei ich vorausgesetzt hab ,dass A [mm] \ge [/mm] B)
jedes folgenglied muss größer als die k-te wurzel aus [mm] A^k [/mm] sein also größer als A , andererseits muss jedes folgenglieg kleiner als die wurzel aus [mm] A^k+A^k [/mm] sein (da A ja größer als B ist)
daraus folgt bei mir dann, dass es gegen die größere der beiden Zahlen A oder B läuft...,
bei iii) musste zuerst einmal vereinfachen und dann so erweitern, dass du die 3. binomische formel anwenden kannst, ich hab da dann (0,5 ,1 ) raus, sag dann ob du das auch rausbekommst !!!
Achh und b) hab ich auch noch nicht ! wär auch sehr über tipps danbar , vollständige induktion beim limes ?????? glaub ich nicht !!!!
lg svenja
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 So 09.11.2008 | | Autor: | erisve |
ach und wo wir grad dabei sind , hast du die 14 b ???
also ,dass die [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1/k² konvergiert mit dem chauchykriterium nachgewiesen..., also mir is ja klar wie das im prinzip geht, aber die summe stört mich ...,
sooo jetzt werd ich aber mal endlich schlafen gehen, diese matheübungszettel rauben einen echt den schlaf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
Hallo, ich sitze auch gerade an dem Übungsblatt
Also zu 14b)
n>m, dann ergibt sich:
[mm] \left|\summe_{k=1}^{n}1/k^2 - \summe_{k=1}^{m} 1/k^2 \right| =\left| \summe_{k=m+1}^{n} 1/k^2 \right|
[/mm]
Die Abschätzung aus dem Hinweis führt zu
[mm] \le \left| \summe_{k=m+1}^{n} 1/(k(k-1)) \right| [/mm] = [mm] \left| \summe_{k=m+1}^{n} 1/(k-1) -\summe_{k=m+1}^{n} 1/k \right|
[/mm]
Wenn du dann die Summen ausschreibst, wirst du sehen, dass nur noch [mm] \left| \bruch{1}{m} - \bruch{1}{n} \right| [/mm] übrig bleibt.
Und das kann man dann kleiner werden lassen als jedes [mm] \varepsilon>0
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 09.11.2008 | | Autor: | erisve |
ja das hab ich jetzt denk ich hinbekommen,
kann ich dann am ende abschäten,dass [mm] \bruch{1}{m} [/mm] > [mm] \bruch{1}{m} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ? dann krieg ich m> [mm] 1/\varepsilon [/mm] raus !
vielen dank !!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
Ja, das geht, da ja n>m [mm] \gdw \bruch{1}{m}>\bruch{1}{n} [/mm] gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
| Aufgabe | | 15b) Beweise Sie für jedes feste [mm] $p\in \IN: \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1^p+2^p+...n^p}{n^{p+1}}= \bruch{1}{p+1}. [/mm] $ |
Hallo, ich habe versucht 15b) mit vollständiger Induktion zu lösen, wie von Abakus vorgeschlagen.
Der Induktionanfang, also für p=1, wäre dann ja so ähnlich wie 14b).
Aber beim Induktionsschluss komme ich nicht weiter, hat da vielleicht noch jemand einen Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
Die Induktionsvoraussetzung wäre ja dann:
[mm] \left| \bruch{1^{p}+2^{p}+...+n^{p}}{n^{p+1}}-\bruch{1}{p+1}\right|<\varepsilon
[/mm]
Und zu zeigen ist:
[mm] \left| \bruch{1^{p+1}+2^{p+1}+...+n^{p+1}}{n^{p+2}}-\bruch{1}{p+2}\right|<\varepsilon
[/mm]
Als Hinweis ist auch noch gegeben: Pascalsche Identität. Die Potenzsummen [mm] S_{n,q}:=\summe_{k=1}^{n}k^{q} [/mm] sind Polynome in n vom Grad q+1 (Begründung?!).
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Hallo Wind,
Eventuell bringt dich hier die ![[]](/images/popup.gif) Faulhabersche Formel weiter.
edit: Tatsächlich ... die Aufgabe ist auf diese Formel zugeschnitten:
[mm]\frac{\sum_{k=1}^n{k^p}}{n^{p+1}}=\frac{1}{p+1}\sum_{j=0}^p{\frac{\binom{p+1}{j}B_j}{n^j}}[/mm]
Und für [mm]n\to\infty[/mm] erhält man dann halt [mm]\frac{1}{p+1}\cdot{B_0}[/mm].
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 09.11.2008 | | Autor: | erisve |
jaaa das sieht sich echt ähnlich,
also dann wohl doch nicht mit vollständiger induktion,
aber kannst du mir vlt. nochmal werklären warum die potenzsummen Polynome in n vom grad n+1 sind
was heißt denn in n ?
lg svenja
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Hallo Svenja,
> aber kannst du mir vlt. nochmal werklären warum die
> potenzsummen Polynome in n vom grad n+1 sind
... vom grad n+1 würde keinen Sinn machen, denke ich. Im Nachtrag von Wind steht "vom grad q+1". Siehe dir dazu auch folgende "prähistorische" Diskussion von mir dazu an. Da ist auch von Polynomen vom Grad z+1 die Rede (z+1, q+1 ... es ist unwichtig wie die Variable heißt).
> was heißt denn in n ?
Das ist die Variable des Polynoms. Z.B. ist [mm]f(n):=an^2 + bn + c[/mm] ein Polynom in [mm]n\![/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:14 So 09.11.2008 | | Autor: | Wind |
Hi, danke für die Antwort, Karl.
Leider hatten wir noch keine Bernoulli-Zahlen, darum kann ich die Formel vermutlich nicht so einfach verwenden.
Gibt es da vielleicht eine Zusammenhang mit der Pascalschen Identität?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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