Folgendarstellung d. Expfkt. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:04 Di 28.10.2008 | | Autor: | Azarazul |
Hi,
ich stolperte eben bei wikipedia, im Artikel über die Exponentialfunktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion
darüber, wie dort die Konvergenz der Folgendarstellung der Exponentialfunktion gezeigt wird - weil ich das selbst versuchte zu zeigen (aber es nur mit Hilfe der Reihendarstellung geschafft habe).
Dort wird gesagt, dass die Monotonie mit Hilfe der Ungleichung vom arithm. und geom. Mittel folgt - die ist mir bekannt. Leider fehlt mir gerade ein bisschen das Verständnis für die Anwendung in diesem Fall.
Zur Monotonie der Folgendarstellung ist zu zeigen:
[mm] (a_n)_n :=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n[/mm]
[mm] a_n \le a_{n+1} [/mm]
Auf Wiki folgt für [mm] n > |x| [/mm] dann:
[mm]\wurzel[n+1]{(1+\bruch{x}{n})^n * 1} \le \bruch{n(1+\bruch{x}{n})+1}{n+1} = 1 +\bruch{x}{n+1}[/mm]
so - und wieso kann ich hier jetzt die Ungl. vom Geom. & arithm Mittel benutzen ? Und vor allem in der Form, wie es dort, bei Wiki geschieht ?
(Frage 2: Kann ich das eigentlich auch per Induktion zeigen ? Sieht da jemand eine Möglichkeit für den IS?)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dank & Gruß,
aza
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Di 28.10.2008 | | Autor: | Azarazul |
Blöde Frage ich sehe es selbst - das hinschreiben hat geholfen ...
$ [mm] \wurzel[n+1]{(1+\bruch{x}{n})^n \cdot{} 1} \le [/mm] 1 [mm] +\bruch{x}{n+1} [/mm] | [mm] ()^{n+1} \Rightarrow (1+\bruch{x}{n})^n \le (1+\bruch{x}{n+1})^{n+1} [/mm] $
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