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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo Forum,
mir wurde ja schon so toll geholfen, da habe ich doch gleich noch eine Frage. Folgende Aufgabe:
Gegeben ist die Folge
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n^-^1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Folgende Aussagen sind mit richtig/falsch zu beantworten
1) Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent.
Das ist meiner Meinung nach richtig, weil es zwei Teilfolgen [mm] a_2_n [/mm] und [mm] a_2_n_+_1 [/mm] gibt die beide gegen 0 streben, also ist das eine Nullfolge und somit konvergent.
2) Die Folge [mm] (|a_n|) [/mm] ist konvergent.
Ist auch richtig weil |0| ja immernoch 0 ist.
3) Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ist konvergent.
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] ist eine monoton fallende Nullfolge, also gilt das Leibnitzkriterium, also ist die Aussage auch richtig.
4) Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] ist konvergent.
So und da weiß ich jetzt nicht so recht, ich denke das ist falsch, kann es aber nicht begründen?!
Wäre nett wenn sich das jemand anschauen könnte und meine Antworten bzw. Begründungen verifiziert. Besonders interessiert mich 4)
Vielen Dank
real
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo real,
> 4) Die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] ist konvergent.
> So und da weiß ich jetzt nicht so recht, ich denke das ist
> falsch, kann es aber nicht begründen?!
Versuche mal, deine reihe in beziehung zur harmonischen reihe zu bringen, die ja bekanntlich divergiert.
Viele Grüße
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
Hallo Matthias ,
also die Harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a} [/mm] ist divergent für a [mm] \le [/mm] 1, das wäre dann ja bei [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] der Fall?! Bedeutet das dann das die Aussagen 3) und 4) falsch sind. Was ist dann mit dem Leibnitzkriterium? Ich bin etwas ratlos.
Grüße
real
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Fr 05.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> also die Harmonische Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a}[/mm] ist divergent für a [mm]\le[/mm]
> 1, das wäre dann ja bei [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] der Fall?!
Ja, das ist richtig. Auch wenn man normalerweise nur [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ [/mm] als Harmonische Reihe bezeichnet.
Aber wegen [mm] $\frac{1}{n^a} \ge \frac{1}{n}$ [/mm] für $a [mm] \le [/mm] 1$ divergieren dann alle Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^a}[/mm] für $a [mm] \le [/mm] 1$.
> Bedeutet das dann das die Aussagen 3) und 4) falsch sind.
Nein, das bedeutet nur, dass 4) falsch ist, denn wenn die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} |a_n| = \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}[/mm] divergiert, bedeutet das ja nur, dass die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] absolut divergiert.
Die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}$ [/mm] selbst dagegen konvergiert nach dem Leibnizkriterium.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Fr 05.08.2005 | | Autor: | real |
So verstehe es auch ich :) Danke
Grüße
real
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