Folgen und Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 10.05.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nachdem mich meine Lerngruppe soeben hat sitzen lassen, hoffe ich das ich hier vielleicht ein wenig Hilfe bezüglich einer Aufgabe meines Analysis I Übungsblatt finden kann. Die Aufgabe lautet:
Gegeben sei die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] mit [mm] a_{n}=n²/(n²+3n).
[/mm]
a) Für [mm] \varepsilon=1 [/mm] und [mm] \varepsilon=10^{-3} [/mm] bestimme man jeweils ein [mm] N_{\varepsilon} \in \IN, [/mm] so dass [mm] |a_{n}-1|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_{\varepsilon} [/mm] gilt.
b) Zeigen sie direkt mit der Definition von Konvergenz: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1 .
Also ich hab mir gedacht, das man warscheinlich für [mm] \varepsilon=1 [/mm] die Folge einsetzen muss in [mm] |a_{n}-1|<1, [/mm] also |/bruch{n²}{n²+3n}-1|<1 und das gleiche dann für den Fall [mm] \varepsilon=10^{-3} [/mm] und das ganze dann Auflösen, aber irgendwie komm ich da nicht weiter.
Wäre echt nett, wenn mir da vielleicht jemand weiter helfen könnte. Vielleicht ist mein Ansatz ja auch komplett falsch ?!
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 10.05.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Zuerst würd ich mir den Bruch vereinfachen:
[mm] a_{n}=n²/(n²+3n)= \bruch{1}{1+ \bruch{3}{n}}
[/mm]
Allein da siehst du schon, dass der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 1
An diesem Bruch siehst du hier auch besser, dass der Ausdruck [mm] |a_{n}-1| [/mm] für sehr große n's, gegen 0 tendiert.
Und du kannst auch verstehen, warum du Betragsstriche um den Ausdruck hast, da [mm] a_{n}-1 [/mm] immer < 0 ist.
Nun ist deine Aufgabe einfach nur, zu bestimmen, wie groß muss denn das n sein, ab dem [mm] |a_{n}-1| [/mm] <1 bzw. 0.001 ist.
Für 1 ist das ja leicht, denn:
a(1)= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Also |a(1)-1|=0.75<1, womit man schon das n gefunden hätte..
Für [mm] \varepsilon [/mm] = 0.001 musst du einfach nur die Ungleichung:
[mm] |\bruch{1}{1+ \bruch{3}{n}}-1|<0.001 [/mm] lösen !
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Di 10.05.2005 | | Autor: | Adele |
Ich danke dir für die schnelle Antwort, hat mir sehr geholfen!
Liebe Grüße,
Adele
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