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Hallo ihr! Schönen guten morgen!
Hab mal wieder ein paar Fragen..beziehen sich aber ehr auf Fragen bezüglich meinem Lösungsweg...
Es sei lim aj=a und lim bj =b
1. Zeigen sie: Esistiert ein j0 [mm] \in \IN [/mm] mit aj [mm] \le [/mm] bj für alle j [mm] \ge [/mm] j0, dann gilt auch a [mm] \le [/mm] b.
aus aj [mm] \le [/mm] bj folgt aj - bj [mm] \le [/mm] 0 und /oder bj-aj [mm] \ge [/mm] 0
dann ist lim aj-lim bj [mm] \le [/mm] 0 und /oder lim bj - lim aj [mm] \ge [/mm] 0 Ist das so?Und wenn ja, welche Begründung kann ich hier angeben(Def./Satz)??
Dann wäre also a-b [mm] \le [/mm] 0 und/oder b-a [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \le [/mm] b q.e.d
Gleiche Voraussetzung:
zeigen sie Existieren ein j0 [mm] \in \IN [/mm] und A,B [mm] \in \IR [/mm] mit A [mm] \le [/mm] aj [mm] \le [/mm] B für alle j [mm] \ge [/mm] j0, dann gilt auch A [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] B.
Hier erfüllen A,B [mm] \in \lR [/mm] die Bedingungen für die Schranken....das heißt eben, dass aj beschränkt ist durch A und B.
da aj [mm] \in [/mm] (a+ [mm] \varepsilon, [/mm] a- [mm] \varepsilon) [/mm] , liegt ja a auf jeden Fall ebenfalls in diesen Schranken....... reicht das als Begründung, gibt es da etwas plausiblereres oder ist das völlig falsch?
3. Gelten obige Aussagen auch, wenn man [mm] \le [/mm] durch < ersetzt.?? Ja oder??
Soo jetzt noch eine Frage... Zeigen sie, dass durch aJ = 1/j [mm] *\summe_{k=1}^{j} [/mm] ( [mm] \bruch{k^3 + j^2}{j^3 + k^2})
[/mm]
für alle j [mm] \in \IN
[/mm]
Bei der Aufgabe , weiß ich nicht wirklich wie ich weitermachen soll....Hat jemand einen Tip??
Danke euch schon jetzt für eure hoffentlich wie immer hilfreichen Antworten.
Lg Sandra
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Hallo ihr? warum antwortet denn keine rauf meine Fragen? So schwierig??
hab die letzte Aufgabe jetzt mehr oder weniger gelöst..und zwar so , dass ich ausgenutzt habe, dass ich die summenformel für [mm] k^3 [/mm] und [mm] k^2 [/mm] kenne und dann jeweils dafür eingesetzt habe.......anschließend dann durch die höchste potenz teilen und den limes bestimmen...kann man das so machen??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Di 22.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
Bei der 2. Frage ist eine Antwort sehr schwierig, da Du bei der Formulierung der Aufgabenstellung mitten im Satz abbrichst.
Bitte poste doch mal die vollständige Aufgabenstellung.
Gruß
Loddar
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Hallo Sandra
weil die Antwortszeit gerade abläuft, ein paar Hinweise:
> Es sei lim aj=a und lim bj =b
> 1. Zeigen sie: Esistiert ein j0 [mm]\in \IN[/mm] mit aj [mm]\le[/mm] bj
> für alle j [mm]\ge[/mm] j0, dann gilt auch a [mm]\le[/mm] b.
>
> aus aj [mm]\le[/mm] bj folgt aj - bj [mm]\le[/mm] 0 und /oder bj-aj [mm]\ge[/mm] 0
> dann ist lim aj-lim bj [mm]\le[/mm] 0 und /oder lim bj - lim
> aj [mm]\ge[/mm] 0 Ist das so?Und wenn ja, welche Begründung kann
> ich hier angeben(Def./Satz)??
Das sind die Limesgesetzte: Wenn Folgen konvergieren, dann konvergieren Summen- und Differenzfolgen gegen die Grenzwertsumme bzw. -differenz. Um Deinen Gedanken zu Ende zu denken:
Wenn [mm] a_i \le b_i [/mm] ab einem gewissen j, dann ist [mm] lim(a_i-b_i) \le [/mm] 0 und damit a-b [mm] \le [/mm] 0
> Dann wäre also a-b [mm]\le[/mm] 0 und/oder b-a [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> a [mm]\le[/mm] b q.e.d
>
>
> Gleiche Voraussetzung:
> zeigen sie Existieren ein j0 [mm]\in \IN[/mm] und A,B [mm]\in \IR[/mm] mit
> A [mm]\le[/mm] aj [mm]\le[/mm] B für alle j [mm]\ge[/mm] j0, dann gilt auch A [mm]\le[/mm] a
> [mm]\le[/mm] B.
>
> Hier erfüllen A,B [mm]\in \lR[/mm] die Bedingungen für die
> Schranken....das heißt eben, dass aj beschränkt ist durch A
> und B.
Wenn man am Anfang endlich viele Glieder wegläss. Das ändert nix am Grenzwert. Wenn Du aber die [mm]\varepsilon[/mm]-Abschätzung verwenden willst, konstruiere einen Widerspruch zur Voraussetzung:
Nimm an, a liegt unterhalb von A (oder über B) und mache [mm] \varepsilon [/mm] kleiner als den Abstand A-a:
> da aj [mm]\in[/mm] (a+ [mm]\varepsilon,[/mm] a- [mm]\varepsilon)[/mm] , liegt
liegen alle [mm] a_{i>j} [/mm] plötzlich unter A.
>
> Soo jetzt noch eine Frage... Zeigen sie, dass durch aJ =
> 1/j [mm]*\summe_{k=1}^{j}[/mm] ( [mm]\bruch{k^3 + j^2}{j^3 + k^2})[/mm]
> für
> alle j [mm]\in \IN[/mm]
Wie Loddar schrieb, ist die Aufgabe unvollständig.
Wenn Du die Funktion f(x) = [mm] \bruch{x^{3}+j²}{x^{2}+j^{3}} [/mm] auf Monotonie untersuchst, siehst Du, dass die Glieder der Summe stets wachsen, also ist das letzte Glied der Summe für k = j gleich [mm] \bruch{j³+j²}{j³+j²}=1 [/mm] und damit [mm] \summe_{k=1}^{j}1 [/mm] = j, also lassen sich die [mm] a_j [/mm] alle durch 1 nach oben abschätzen. Aus der Monotonie folgt die Konvergenz der Folge.
Mehr kann ich dazu nicht sagen,
Tschüß, Richard
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