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| Aufgabe | Geben Sie jeweils eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit den gewünschten Eigenschaften an:
a) [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist konvergent, aber nicht monoton.
b) [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist beschränkt und divergent, besitzt aber eine streng monotone Teilfolge.
Begründen Sie, dass Ihre Beispiele die geforderten Eigenschaften haben. |
a)
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n}\bruch{1}{n}
[/mm]
Nicht für jedes Folgeglied gilt [mm] a_{n + 1} [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0
b)
Hier hab ich keine Ideen, was ich machen könnte. Dachte schon an etwas wie sinus oder so, aber so ganz sicher bin ich mir da nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie jeweils eine Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] mit den
> gewünschten Eigenschaften an:
>
> a) [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist konvergent, aber nicht monoton.
>
> b) [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] ist beschränkt und divergent,
> besitzt aber eine streng monotone Teilfolge.
>
> Begründen Sie, dass Ihre Beispiele die geforderten
> Eigenschaften haben.
> a)
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm](-1)^{n}\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Nicht für jedes Folgeglied gilt [mm]a_{n + 1}[/mm] < [mm]a_{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0
Prima !
>
> b)
>
> Hier hab ich keine Ideen, was ich machen könnte. Dachte
> schon an etwas wie sinus oder so, aber so ganz sicher bin
> ich mir da nicht.
Nimm irgendeine beschränkte und streng monotone Folge [mm] (b_n) [/mm] mit dem Grenzwert 1
Eine solche fällt Dir sicher ein.
Definiere nun die Folge [mm] (a_n) [/mm] wie folgt:
[mm] $a_{2n-1} [/mm] = 0$ und [mm] $a_{2n} [/mm] = [mm] b_n$
[/mm]
Dann ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt und divergent und [mm] $(a_{2n}) [/mm] = [mm] (b_n)$ [/mm] ist eine streng monotone Teilfolge
FRED
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D.h. ich hab eine Folge, die folgendermaßen definiert ist
[mm] a_{n}=\begin{cases} a_{2n-1} = 0 \\ a_{2n} = 1 - \bruch{1}{n} \end{cases}
[/mm]
?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 16.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Die tuts
FRED
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