Folgen eliminieren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Do 30.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Matheraum,
ich habe offenbar gerade ein Brett vor dem Kopf. Vor mir liegt ein System selbst definierter Folgen; die Herkunft ist für meine Frage vollkommen egal. Mich interessiert eigentlich nur ein Spezialfall, aber ich definiere erst einmal allgemein.
Da die Notation strittig ist, vorab der Hinweis, dass [mm] \IN_0 [/mm] die Null enthält, [mm] \IN [/mm] aber nicht.
Sei nun
[mm] (a_n)_{n\in\IN_0}: a_n=2k_n,\;\; k_n\in\IN
[/mm]
[mm] (b_n)_{n\in\IN_0}: b_0=\beta,\;\; \beta\in\IR\setminus\{0\},\;\; b_{n+1}=b_n+a_n
[/mm]
[mm] (c_n)_{n\in\IN_0}: c_0=\bruch{2}{\beta},\;\; c_{n+1}=c_n+\bruch{2}{b_{n+1}}
[/mm]
[mm] (d_n)_{n\in\IN_0}: d_0=0,\;\; d_{n+1}=\bruch{2}{b_{n+1}}*c_n+\bruch{b_{n+1}-2}{b_{n+1}}*d_n
[/mm]
[mm] (e_n)_{n\in\IN_0}: e_n=c_n-d_n
[/mm]
Soweit, so kompliziert.
Mich interessiert nun der Spezialfall [mm] a_n=2=const.
[/mm]
Darüber hinaus ist mir eigentlich jede Folge vollkommen wurscht mit Ausnahme von [mm] e_n.
[/mm]
Es zeigt sich, dass (für [mm] \beta\not=0, [/mm] s.o.) gilt:
[mm] e_n=1-\bruch{\beta-2}{b_n}
[/mm]
Ein überraschend einfaches Ergebnis.
Nur: wie um alles in der Welt zeige ich das?
Hat jemand eine Idee, wie man in der Definition die Folgen [mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] eliminieren kann?
Ich bin mit meinem Latein gerade ziemlich am Ende.
Danke vorab für alle Hinweise auf die Forenregeln. 
Herzliche Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:42 Do 30.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Matheraum,
Hallo reverend
>
> ich habe offenbar gerade ein Brett vor dem Kopf. Vor mir
> liegt ein System selbst definierter Folgen; die Herkunft
> ist für meine Frage vollkommen egal. Mich interessiert
> eigentlich nur ein Spezialfall, aber ich definiere erst
> einmal allgemein.
>
> Da die Notation strittig ist, vorab der Hinweis, dass [mm]\IN_0[/mm]
> die Null enthält, [mm]\IN[/mm] aber nicht.
>
> Sei nun
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN_0}: a_n=2k_n,\;\; k_n\in\IN[/mm]
>
> [mm](b_n)_{n\in\IN_0}: b_0=\beta,\;\; \beta\in\IR\setminus\{0\},\;\; b_{n+1}=b_n+a_n[/mm]
>
> [mm](c_n)_{n\in\IN_0}: c_0=\bruch{2}{\beta},\;\; c_{n+1}=c_n+\bruch{2}{b_{n+1}}[/mm]
>
> [mm](d_n)_{n\in\IN_0}: d_0=0,\;\; d_{n+1}=\bruch{2}{b_{n+1}}*c_n+\bruch{b_{n+1}-2}{b_{n+1}}*d_n[/mm]
>
> [mm](e_n)_{n\in\IN_0}: e_n=c_n-d_n[/mm]
>
> Soweit, so kompliziert.
> Mich interessiert nun der Spezialfall [mm]a_n=2=const.[/mm]
> Darüber hinaus ist mir eigentlich jede Folge vollkommen
> wurscht mit Ausnahme von [mm]e_n.[/mm]
>
> Es zeigt sich, dass (für [mm]\beta\not=0,[/mm] s.o.) gilt:
>
> [mm]e_n=1-\bruch{\beta-2}{b_n}[/mm]
>
> Ein überraschend einfaches Ergebnis.
>
> Nur: wie um alles in der Welt zeige ich das?
Unter der Voraussetzung [mm] a_{n}=2;\forall n\in\IN [/mm] gilt doch:
[mm] b_{n+1}=b_{n}+2
[/mm]
Damit bekommst du doch die explizite Darstellung
[mm] b_{n}=2n+\beta
[/mm]
Das egibt doch in der Folge [mm] c_n [/mm] eingesetzt:
[mm] c_{n+1}=c_{n}+\frac{2}{2(n+1)+\beta}
[/mm]
[mm] =c_{n}+\frac{1}{n+1+\frac{\beta}{2}}
[/mm]
Hier sehe ich gerade nicht, ob man daraus fix die explizite Darstellung bekommt.
Dennoch kannst du das in die Folge [mm] d_{n} [/mm] einsetzen
Außerdem nutze ich mal
[mm] \frac{b_{n+1}-2}{b_{n+1}}=1-\frac{2}{b_{n+1}}
[/mm]
Das führt zu:
[mm]d_{n+1}=\frac{2}{2(n+1)+\beta}\cdot\underbrace{c_{n-1}\cdot\frac{2}{2n+\beta}}_{c_{n}}+\left(1-\frac{2}{2(n+1)+\beta}\right)\cdot d_{n}[/mm]
> Hat jemand eine Idee, wie man in der Definition die Folgen
> [mm]c_n[/mm] und [mm]d_n[/mm] eliminieren kann?
Verdammt, ich sehe vermutlich gerade dein Problem.
Ich mache mir dazu morgen mal ein paar Gedanken, lasse das aber mal als Erinnerung und zum Anknüpfen hier stehen.
>
> Ich bin mit meinem Latein gerade ziemlich am Ende.
> Danke vorab für alle Hinweise auf die Forenregeln.
>
> Herzliche Grüße
> reverend
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Do 30.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Marius,
danke schonmal für ein paar Anstöße. Nach ein paar Seiten Versuchen sehe ich gerade gar nichts mehr und vertage mich hiermit auch auf morgen.
> Hallo reverend
>
> >
> > ich habe offenbar gerade ein Brett vor dem Kopf. Vor
> mir
> > liegt ein System selbst definierter Folgen; die
> Herkunft
> > ist für meine Frage vollkommen egal. Mich interessiert
> > eigentlich nur ein Spezialfall, aber ich definiere erst
> > einmal allgemein.
> >
> > Da die Notation strittig ist, vorab der Hinweis, dass
> [mm]\IN_0[/mm]
> > die Null enthält, [mm]\IN[/mm] aber nicht.
> >
> > Sei nun
> >
> > [mm](a_n)_{n\in\IN_0}: a_n=2k_n,\;\; k_n\in\IN[/mm]
> >
> > [mm](b_n)_{n\in\IN_0}: b_0=\beta,\;\; \beta\in\IR\setminus\{0\},\;\; b_{n+1}=b_n+a_n[/mm]
>
> >
> > [mm](c_n)_{n\in\IN_0}: c_0=\bruch{2}{\beta},\;\; c_{n+1}=c_n+\bruch{2}{b_{n+1}}[/mm]
>
> >
> > [mm](d_n)_{n\in\IN_0}: d_0=0,\;\; d_{n+1}=\bruch{2}{b_{n+1}}*c_n+\bruch{b_{n+1}-2}{b_{n+1}}*d_n[/mm]
>
> >
> > [mm](e_n)_{n\in\IN_0}: e_n=c_n-d_n[/mm]
> >
> > Soweit, so kompliziert.
> > Mich interessiert nun der Spezialfall [mm]a_n=2=const.[/mm]
> > Darüber hinaus ist mir eigentlich jede Folge
> vollkommen
> > wurscht mit Ausnahme von [mm]e_n.[/mm]
> >
> > Es zeigt sich, dass (für [mm]\beta\not=0,[/mm] s.o.) gilt:
> >
> > [mm]e_n=1-\bruch{\beta-2}{b_n}[/mm]
> >
> > Ein überraschend einfaches Ergebnis.
> >
> > Nur: wie um alles in der Welt zeige ich das?
>
> Unter der Voraussetzung [mm]a_{n}=2;\forall n\in\IN[/mm] gilt doch:
>
> [mm]b_{n+1}=b_{n}+2[/mm]
>
> Damit bekommst du doch die explizite Darstellung
>
> [mm]b_{n}=2n+\beta[/mm]
>
>
> Das egibt doch in der Folge [mm]c_n[/mm] eingesetzt:
>
> [mm]c_{n+1}=c_{n}+\frac{2}{2(n+1)+\beta}[/mm]
> [mm]=c_{n}+\frac{1}{n+1+\frac{\beta}{2}}[/mm]
Ja, bis hierhin bin ich auch gekommen.
> Hier sehe ich gerade nicht, ob man daraus fix die explizite
> Darstellung bekommt.
>
> Dennoch kannst du das in die Folge [mm]d_{n}[/mm] einsetzen
>
> Außerdem nutze ich mal
> [mm]\frac{b_{n+1}-2}{b_{n+1}}=1-\frac{2}{b_{n+1}}[/mm]
>
> Das führt zu:
>
> [mm]d_{n+1}=\frac{2}{2(n+1)+\beta}\cdot\underbrace{c_{n-1}\cdot\frac{2}{2n+\beta}}_{c_{n}}+\left(1-\frac{2}{2(n+1)+\beta}\right)\cdot d_{n}[/mm]
Hier sehe ich gerade noch nicht, was die Ersetzung von [mm] c_n [/mm] bringt. Aber das heißt ja nichts (jedenfalls im Moment, wie gesagt).
> > Hat jemand eine Idee, wie man in der Definition die Folgen
> > [mm]c_n[/mm] und [mm]d_n[/mm] eliminieren kann?
>
> Verdammt, ich sehe vermutlich gerade dein Problem.
Hm. Ich habe Induktion versucht, aber vielleicht auch mit ungeschickten Annahmen. Vielleicht sollte ich erstmal explizit bis [mm] a_2,\cdots,e_2 [/mm] rechnen und dann in die Induktion einsteigen.
> Ich mache mir dazu morgen mal ein paar Gedanken, lasse das
> aber mal als Erinnerung und zum Anknüpfen hier stehen.
Ja, gerne.
> > Ich bin mit meinem Latein gerade ziemlich am Ende.
> > Danke vorab für alle Hinweise auf die Forenregeln.
Ich habs übrigens nicht nur auf Latein, sondern auch griechisch, englisch, deutsch probiert. Leider ist mein Tamil kaum vorhanden, sonst hätte ich noch "Ramanujan style" versuchen können...
Gute Nacht und danke!
reverend
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Hiho,
es gilt [mm] $a_n \equiv [/mm] 2$, damit [mm] $b_n [/mm] = [mm] \beta [/mm] + 2n$.
Nun gilt aber auch:
[mm] $e_{n+1} [/mm] = [mm] c_{n+1} [/mm] - [mm] d_{n+1} [/mm] = [mm] \left(c_n + \bruch{2}{b_{n+1}}\right) [/mm] - [mm] \left(\bruch{2}{b_{n+1}}c_n + \bruch{b_{n+1} - 2}{b_{n+1}}d_n\right) [/mm] = [mm] \bruch{\left(b_{n+1}c_n + 2\right) - \left(2c_n + (b_{n+1} - 2)d_n\right)}{b_{n+1}}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{(b_{n+1} - 2)c_n + 2 - (b_{n+1}-2)d_n}{b_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(b_{n+1}-2)(c_n - d_n) + 2}{b_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{b_n(c_n - d_n) + 2}{b_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{b_ne_n + 2}{b_{n+1}}$
[/mm]
D.h.
[mm] $e_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{b_ne_n + 2}{b_n + 2} [/mm] = [mm] \bruch{(\beta + 2n)e_n + 2}{\beta + 2(n+1)}$
[/mm]
Und nun per Vollständiger Induktion die Gleichheit zu deiner expliziten Darstellung zeigen.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:31 Do 30.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Gono,
das sieht gut aus. Ich werde morgen mal induzieren.
Vorerst hat mein Bett um eine Anhörung gebeten. Dem kann ich mich gerade nicht so recht entziehen. Schließlich kennen wir (also das Bett und ich) schon seit Jahren.
Danke vorab!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Do 30.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Induktion klappt. So stimmts!
Danke, Gono.
Liebe Grüße
reverend
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