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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
| Aufgabe | Stellen Sie fest, ob die Folgen
(I) monoton,
(II) beschränkt,
(III) Nullfolgen
sind.
(4n- 2)/(3n + 1) n>=1 |
Hi,
also ich hab diese Folge.
Wie kann ich jetzt schnell ermitteln, was was ist?
Also die Folgeglieder habe ich berechnet, aber irgendwie stehe ich aufm Schlauch.
Ich will keine Lösung haben, nur einen Ansatz der mich dahin bringt.
Also meine Folgewerte gehen nie über 1,4 irgendwie.
LG
svcds
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-Monotonie:
Falls das (n+1)-te Folgenglied immer größer (gleich) ist als das n-te, ist die Folge monoton wachsend, du musst also mathematisch zeigen:
[mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n}
[/mm]
Umgekehrt, falls (n+1)-te Folgenglied immer kleiner (gleich) ist als das n-te, ist die Folge monoton fallend, du musst also mathematisch zeigen:
[mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n}.
[/mm]
Wenn du am Anfang noch nicht weißt, was es für eine Monotonie ist, solltest du einfach die Differenz
[mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}
[/mm]
untersuchen.
-Falls du zeigen kannst, dass die immer größer 0 ist, hast du gezeigt (siehe oben) dass sie monoton wachsend ist.
-Falls du zeigen kannst, dass die Differenz immer kleiner als 0 ist, hast du gezeigt dass sie monoton fallend ist.
Nullfolge:
Eine Folge ist eine Nullfolge, wenn sie für sehr große n immer mehr den Wert 0 annimmt, wie ihr vielleicht schon wisst "konvergiert" sie gegen diesen Wert und hat somit den Grenzwert 0.
Du musst also zeigen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n}) [/mm] = 0
dann ist die Folge eine Nullfolge. Hattet ihr das noch nicht so, hilft die Überlegung:
Falls der Term im Nenner für große n wesentlich schneller wächst als der Term im Zähler deines Bruches, steht ja praktisch für große n da:
[mm] \bruch{Kleines}{Großes}
[/mm]
Dann ist es auch eine Nullfolge. Bei dir handelt es sich um keine Nullfolge, denn sowohl Zähler als auch Nenner sind lineare Funktionen, wachsen also etwa gleichschnell. Etwas anderes wäre es, wenn im Nenner eine quadratische Funktion stehen würde. Diese wächst wesentlich schneller als die lineare Funktion im Zähler, und dann wäre es eine Nullfolge.
Beschränktheit:
Du musst Werte finden, die die Folge nicht überschreitet (nach oben heißt dieser Wert dann "obere Schranke") bzw. unterschreitet (nach unten heißt dieser Wert "untere Schranke"). Dann hast du gezeigt, dass der "Wertebereich" der Folge beschränkt ist.
Zum Beispiel ist eine lineare Funktion wie 2n+3 nicht beschränkt, ich kann keinen Wert finden, den die Folge nicht überschreitet bzw. unterschreitet.
Falls du eine monotone Folge hast (also fallend oder wachsend auf gesamt [mm] \IN [/mm] ), ist das erste Folgenglied stets schon eine "Schranke".
Die andere ist meist entscheidender: Wenn deine Folge für große n gegen einen bestimmten Wert "konvergiert" bzw. "geht", dann ist das die andere Schranke.
Beispiel:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
ist monoton fallend.
Damit ist das erste Folgenglied [mm] (a_{1} [/mm] = 1) die obere Schranke, über diesen Wert kommt die Folge nicht hinaus. (Weil ja das nächste Folgenglied wegen der Monotonie auf jeden Fall kleiner gleich dem ersten sein muss, und das nächste dann wieder, etc.)
Außerdem sehen wir, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] für große n immer mehr gegen 0 geht. Das heißt 0 ist unsere "untere Schranke".
Wir konnten also zeigen: [mm] a_{n} [/mm] ist beschränkt, denn ich finde eine obere Schranke und eine untere Schranke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
so jetzt nochmal auf deutsch :)
wenn ich diese
4n-2
------ Folge habe, wie krieg ich dann raus , wo der Grenzwert ist?
3n+1
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Hallo svcds,
> so jetzt nochmal auf deutsch :)
>
> wenn ich diese
>
> 4n-2
> ------ Folge habe, wie krieg ich dann raus , wo der
> Grenzwert ist?
> 3n+1
Brüche tippt man so ein: \bruch{4n-2}{3n+1}
Um den GW zu berechnen, klammere im Zähler und Nenner die jeweils höchste Potenz von n aus, hier also [mm] n^1=n
[/mm]
[mm] $\bruch{4n-2}{3n+1}=\bruch{n\cdot{}\left(4-\frac{2}{n}\right)}{n\cdot{}\left(3+\frac{1}{n}\right)}=\bruch{4-\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}$
[/mm]
Was passiert hier nun für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ?
Nun, das Biest stebt gegen [mm] $\bruch{4-0}{3+0}=\frac{4}{3}$, [/mm] denn sowohl [mm] $-\frac{2}{n}$ [/mm] als auch [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] nähern sich für größer werdendes n beliebig nahe der Null, streben also gegen 0
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
hi ja danke für die info.
also ist diese Folge beschränkt für [mm] \bruch{4}{3} [/mm] ?
es soll ja [mm] n\ge1 [/mm] gelten, d.h. n=1 da kommt dann [mm] \bruch{1}{2} [/mm] raus.
wie schreib ich das dann auf in schönem mathedeutsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die Folge durch 4/3 beschrnkt ist ist zwar richtig, aber durch ausrechnen des Grenzwerts nicht bewiesen.
Nur wenn sie monoton steigend ist, ist der GW auch obere Schranke.
Alo musst du noch entweder die Monotonie zeigen, oder dass alle [mm] a_n [/mm] kleinergelch 4/3.
Und zu der Formulierung: schreib du auf, wie dus formulieren willst, wir können dann evt. korrigieren.
beschränkt für ist z. Bsp falsch.nach oben beschränkt durch.. ist besser, hat die obere Schranke ...noch besser.
Grus leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
na ja hab sowas eben noch nie gemacht, wie komme ich denn auf den Grenzwert durch leichte Rechnung?
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Okay - ich weiß jetzt zwar nicht genau was du möchtest, aber hier nochmal:
Grenzwertberechnung [mm] a_{n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_{n}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{4n-2}{3n+1}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{n*\left(4-\bruch{2}{n}\right)}{n*\left(3+\bruch{1}{n}\right)}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{4-\bruch{2}{n}}{3+\bruch{1}{n}}\right)
[/mm]
Mit Grenzwertsätzen folgt:
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(4-\bruch{2}{n}\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(3+\bruch{1}{n}\right)}
[/mm]
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(4\right)-\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{2}{n}\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(3\right)+\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{n}\right)}
[/mm]
= [mm] \bruch{4-0}{3+0}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}.
[/mm]
Falls ihr das mit den Grenzwertsätzen nicht so genau machen müsst, schreib nach dem Zwischenergebnis
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{4-\bruch{2}{n}}{3+\bruch{1}{n}}\right)
[/mm]
einfach das Endergebnis hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
also ich habe jetzt rausbekommen, dass die Folge streng monoton steigend ist, denn [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}, [/mm] da kommt bei mir -8<+2 raus.
Grenzwert ist [mm] \bruch{4}{3} [/mm] .
Kann eine Folge beides sein, also beschränkt UNC monoton steigend/fallend?
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Ja, eine Folge kann monoton und beschränkt sein. Zum Beispiel [mm] a_{n}=\bruch{1}{n}. [/mm] Diese Folge ist monoton fallend und beschränkt durch die untere Schranke 0 und die obere Schranke 1.
Übrigens folgt genau aus dieser Bedingung, also dass eine Folge monoton und beschränkt ist, die Konvergenz (d.h. die Existenz eines Grenzwertes für [mm] n\to\infty) [/mm] dieser Folge.
Zu deiner Rechnung: Die ist wahrscheinlich richtig (du hast sie ja nicht hingeschrieben), auf jeden Fall stimmt das Ergebnis, man erhält -8<2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
erstmal danke für die ganze Hilfe!
als zweite Aufgabe habe ich die Folge
[mm] \bruch {(2(-1)^n+n)}{(2+n)}
[/mm]
So ich bin jetzt bei der Monotonie und habe zusammengerechnet
[mm] (6+2n)*(-1)^n [/mm] < (2n+4) * [mm] (-1)^{n+1} [/mm] + 2
und komme nicht weiter, gibts da nen Trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bevor man auf Monotonie untersucht, schreibt man sich mal ein paar Folgenglieder hin, ob sich das lohnt! auch ob man monoton fallend oder steigend hat, ahnt man dann zumindest. erst dann stürzt man sich auf nen allgemeinen Bewei.
Dann schreib die Folge mal für grade und ungrade n getrennt hin: also [mm] a_{2n} [/mm] Und [mm] a_{2n+1}
[/mm]
Das sind "Teilfolgen" , wenn sie denselben GW haben, konvergiert die gesamte Folge, sonst nicht. Für den GW von [mm] a_{2n+1} [/mm] derselbe Trick wie bei der vorigen Folge.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
hab ich gemacht . jedes gerade n liefert 1. jedes ungerade n liefert von - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] bis knapp unter 1
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Sobald im Term ein [mm] (-1)^{n} [/mm] auftaucht (oder irgend etwas vergleichbares), ist es eigentlich um die Monotonie geschehen. Solche Folgen sind dann alternierend, d.h. haben keine feste Monotonie und springen praktisch immer nach oben und nach unten.
Bei dir ist so ein Fall: Für gerade n hat die Folge die Form
[mm] a_{n-gerade} [/mm] = [mm] \bruch{2+n}{2+n} [/mm] = 1
Für ungerade n steht da:
[mm] a_{n-ungerade} [/mm] = [mm] \bruch{-2+n}{2+n}.
[/mm]
D.h. deine Folgenwerte springen immer zwischen der konstanten Folge 1 und der Folge [mm] a_{n-ungerade} [/mm] = [mm] \bruch{-2+n}{2+n} [/mm] hin und her.
Ich habe mal ein Bild von den ersten 14 Folgenwerten gezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Monotonie gibt es also nicht. Das kannst du aber auch durch deine Ungleichung zeigen. Vorausgesetzt, sie stimmt (ich habe das jetzt nicht nachgerechnet), solltest du den "Trick"
[mm](-1)^{n+1} = (-1)*(-1)^{n}=-(-1)^{n}[/mm]
anwenden. Dann ziehst du den rechten Teil deiner Ungleichung auf die linke Seite und klammerst [mm] (-1)^{n} [/mm] aus.
Dann steht da:
[mm] (10+4n)*(-1)^{n} [/mm] < 2.
Und daran kann man schon sehen: Diese Ungleichung ist nicht für alle n erfüllt, sondern nur für jedes zweite. Das bringt aber überhaupt nichts, d.h. es gibt keine Monotonie.
Überlege nun, ob die Folge beschränkt ist und/oder einen Grenzwert hat!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Fr 16.05.2008 | | Autor: | svcds |
also so ähnlich hab ich das auch raus yippie :) hab eben geschrieben, dass bei jedem geraden n wird der linke teil positiv und der rechte umgekehrt, und beim ungeraden n wirds umgekehrt
beschränkt hab ich raus, dass die bei 1 die obere schranke hat und beschränkt ist somit. bei mir kommt raus für den grenzwert 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
GW=1 ist richtig, Schranke 1 auch, das solltest du kurz schreiben. Deine ersten 2 Sätze sind für mich- also auch in ner Aufgabe unverständlich.
linke und rechte Teile gibts in Mathe nicht, denn n-2 und -2+n ist ja dasselbe.
schreib das lieber al Formeln.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Sa 17.05.2008 | | Autor: | svcds |
wird gemacht, ist ja doch simpel :) hatte ich zwar in der Schule nicht und in der Vorlesung war ich auch leider nicht aber ich glaub ich hab das dank euch verstanden
vielen Dank!
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