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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
| Aufgabe | Die Folge (an) hat den Grenzwert g. Bestimmen Sie, von welcher Indexzahl an der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert kleiner als 0,001 ist.
a) an = 6n+1 / 2n+5 , g=3
b) an = 2 / 3n+7 , g=0
c) an = 3-n / n+2 , g=-1 |
Brauche grade mal einen kleinen Denkanstoß.... Komm auf keinen Ansatz!
Danke,
lg Tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 26.08.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
da du die Grenzwerte richtig angegeben hast, verstehe ich es so, dass du einen Denkanstoß zu
> [...] von
> welcher Indexzahl an der Abstand der Folgenglieder zum
> Grenzwert kleiner als 0,001 ist.
haben möchtest.
> a) an = 6n+1 / 2n+5 , g=3
Nehmen wir uns einmal Aufgabenteil a)
Beziehen wir die Fragestellung auf diese konkrete Folge, so lautet die Frage:
Von welcher Indexzahl n an der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert 3 kleiner als 0,001 ist.
Das heißt doch übersetzt, "ab welchem Index n gilt für die Folgenglieder [mm] a_n\ge{3-0,001}=2,999.
[/mm]
Und da [mm] a_n=\bruch{6n+1}{2n+5}, [/mm] soll für diese gesuchte Indexzahl gelten: [mm] \bruch{6n+1}{2n+5}\ge{2,999}
[/mm]
Und da kann man jetzt ein wenig umstellen (nach n):
[mm] \bruch{6n+1}{2n+5}\ge{2,999}
[/mm]
[mm] \gdw6n+1\ge{2,999}*{(2n+5)}
[/mm]
[mm] \gdw6n+1\ge{5,998n+14,995}
[/mm]
[mm] \gdw6n\ge{5,998n+13,995}
[/mm]
[mm] \gdw0,002n\ge{13,995}
[/mm]
[mm] \gdw{n\ge\bruch{13,995}{0,002}}
[/mm]
[mm] \gdw{n\ge{6997,5}}
[/mm]
Da jedoch meist [mm] n\in\IN [/mm] (also Element der natürlichen Zahlen - auch wen du diesbezüglich keine Einschränkung gemacht hast), ist die gesuchte Indexzahl n=6998.
Kleiner Test:
[mm] a_{6998}=\bruch{6*6998+1}{2*6998+5}\approx{2,9996}\ge{2,999}
[/mm]
> b) an = 2 / 3n+7 , g=0
> c) an = 3-n / n+2 , g=-1
> Brauche grade mal einen kleinen Denkanstoß.... Komm auf
> keinen Ansatz!
> Danke,
> lg Tine
Soweit dieser Denkanstoß 
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
achja die Ungleichungen.... stimmt damit gehts ja eigentlich ganz easy =) Super dankeschön, dann werd ich mich mal an b) und c) setzen...
lg Tine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
doch noch eine Frage ;)
bei b)
2 / 3n+7 [mm] \ge [/mm] - 1/1000
stimmt das?!
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> doch noch eine Frage ;)
> bei b)
Da [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \mathbb{N} [/mm] solltest du so abschätzen:
[mm] \frac{2}{3n+7} \red{\le} [/mm] 0 [mm] \red{+} [/mm] 0,001 = [mm] \red{+} \frac{1}{1000}
[/mm]
> stimmt das?!
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
habe Teil c) mal durchgerechnet... aber wahrscheinlich auch den Fehler beim Ungleichheitszeichen gemacht schätze ich mal:
3-n/n+2 > -1,001
3-n > -1,001 * (n+2)
3-n > -1,001n + (-2,002)
-n > -1,001n - 5,002
-2,001n > 5,002
n > -5,002 / -2,001
n = 2,499
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tine!
Diese Folge nähert sich von oben dem Grenzwert $g \ = \ -1$ .
Daher muss Deine Ungleichung lauten:
[mm] $$\bruch{3-n}{n+2} [/mm] \ < \ -0.999$$
Allgemeiner geht es so:
[mm] $$\left|\ a_n-g \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
[mm] $$\left| \ \bruch{3-n}{n+2}-(-1) \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{1000}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
ok, habe die Aufgabe mit der ersten Variante gerechnet.
Es kam raus: n < 4.998
irgendwas mach ich doch immer falsch oder?
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> ok, habe die Aufgabe mit der ersten Variante gerechnet.
> Es kam raus: n < 4.998
>
> irgendwas mach ich doch immer falsch oder?
Hallo,
ja, das ist zu vermuten.
Rechne mal ausführlich vor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
3-n/n+2 < -0,999
3-n < -0,999 * (n+2)
3-n < -0,999n - 1,998
3- 1/1000n < -4,998
- 1/1000n < -4,998
n < 4998
also erstmal müsste sich das Ungleichheitszeichen doch umdrehen?! aber ist generell ja falsch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tine!
Der einzige Fehler liegt in der letzten Zeile ... durch die Multiplikation mit $(-1/1000) \ < \ 0$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um, denn diese Zahl ist negativ.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
Aufgabenteil b)
2/3n+7 < 1/1000
2 < 1/1000 * (3n+7)
2 < 3/1000n + 7/1000
1,993 < 3/1000n
664,3 < n
also ungefähr 664
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 26.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tine!
> Aufgabenteil b)
>
> 2/3n+7 < 1/1000
> 2 < 1/1000 * (3n+7)
> 2 < 3/1000n + 7/1000
> 1,993 < 3/1000n
> 664,3 < n
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Okay!
> also ungefähr 664
Da [mm] $n\in\IN$ [/mm] , gilt hier also: $n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 66\red{5}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Di 26.08.2008 | | Autor: | tine22 |
alles klar, dankeschön =)
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