Folgen, Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Untersuchen sie die rekursive Folge
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + 1/4
[mm] a_0 [/mm] =0
auf beschränktheit monotonie und berechnen sie ihren Grenzwert. |
[mm] a_0 [/mm] =0
[mm] a_1 [/mm] = 1/4
[mm] a_2 [/mm] = 5/15
potenzieller Grenzwert
[mm] lim_{n-> \infty} a_n [/mm] =a
a = [mm] a^2 [/mm] + 1/4
a = 1/2
Beschränktheit
[mm] a_n [/mm] >=0
I.anfang [mm] a_0 [/mm] =0 >=0
I.Annahme [mm] a_n [/mm] >=0
I.schritt [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + 1/4 >= [mm] a_n^2 [/mm] >=0
[mm] a_n [/mm] < 1
I.Anfang [mm] a_0=0 [/mm] < 1
I.Annahme [mm] a_n [/mm] < 1
ZuZeigen: [mm] a_{n+1} [/mm] < 1 <=> [mm] a_{n+1} [/mm] -1 < 0
I.SChritt [mm] a_{n+1} [/mm] -1 = [mm] a_n^2 [/mm] -3/4
Ich weiß laut iduktionsannahme und vorige beschränktheit 0 <= [mm] a_n [/mm] < 1
D.h 0 <= [mm] a_n^2 [/mm] < 1
Trotzdem hänge/stecke ich hier.
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Hallo Lu-,
> Untersuchen sie die rekursive Folge
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n^2[/mm] + 1/4
> [mm]a_0[/mm] =0
> auf beschränktheit monotonie und berechnen sie ihren
> Grenzwert.
> [mm]a_0[/mm] =0
> [mm]a_1[/mm] = 1/4
> [mm]a_2[/mm] = 5/15
>
> potenzieller Grenzwert
> [mm]lim_{n-> \infty} a_n[/mm] =a
> a = [mm]a^2[/mm] + 1/4
> a = 1/2
>
> Beschränktheit
> [mm]a_n[/mm] >=0
> I.anfang [mm]a_0[/mm] =0 >=0
> I.Annahme [mm]a_n[/mm] >=0
> I.schritt [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n^2[/mm] + 1/4 >= [mm]a_n^2[/mm] >=0
>
> [mm]a_n[/mm] < 1
> I.Anfang [mm]a_0=0[/mm] < 1
> I.Annahme [mm]a_n[/mm] < 1
> ZuZeigen: [mm]a_{n+1}[/mm] < 1 <=> [mm]a_{n+1}[/mm] -1 < 0
> I.SChritt [mm]a_{n+1}[/mm] -1 = [mm]a_n^2[/mm] -3/4
> Ich weiß laut iduktionsannahme und vorige beschränktheit
> 0 <= [mm]a_n[/mm] < 1
> D.h 0 <= [mm]a_n^2[/mm] < 1
> Trotzdem hänge/stecke ich hier.
Nimm 1/2 als obere Schranke und es wird leicht.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Lu- |
Achja ;) danke
Zur Monotonie mit Induktion
I.Anfang [mm] a_0 [/mm] < [mm] a_1 [/mm] <=> 0 < 1/4
I.Annahme [mm] a_{n-1} [/mm] < [mm] a_n
[/mm]
ZZ: [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
I.SChritt [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] - [mm] a_n^2 [/mm] - 1/4
[mm] a_n^2 -a_n [/mm] +1/4 soll > 0
[mm] a_{1,2} [/mm] = 1/2 [mm] \pm \wurzel{1/4-1/4}
[/mm]
a = 1/2
[mm] a_n^2 [/mm] - [mm] a_n [/mm] + 1/4 = [mm] (a_n [/mm] -1/2)
Ich hab da glaub ich einen Fehler drinnen mit den Vorzeichen!!
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> Achja ;) danke
>
> Zur Monotonie mit Induktion
> I.Anfang [mm]a_0[/mm] < [mm]a_1[/mm] <=> 0 < 1/4
> I.Annahme [mm]a_{n-1}[/mm] < [mm]a_n[/mm]
> ZZ: [mm]a_n[/mm] < [mm]a_{n+1}[/mm]
> I.SChritt [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_n[/mm] - [mm]a_n^2[/mm] - 1/4
> [mm]a_n^2 -a_n[/mm] +1/4 soll > 0
> [mm]a_{1,2}[/mm] = 1/2 [mm]\pm \wurzel{1/4-1/4}[/mm]
> a = 1/2
> [mm]a_n^2[/mm] - [mm]a_n[/mm] + 1/4 = [mm](a_n[/mm] -1/2)
Du schreibst recht konfus auf. Es gilt
[mm] a_{n+1}-a_n>0 \gdw a_n^2+\frac{1}{4}-a_n>0.
[/mm]
Das gilt immer, da [mm] f(x)=x^2-x+\frac{1}{4} [/mm] die Nullstelle [mm] x_0=\frac{1}{2} [/mm] hat und sonst positiv ist. Weiter gilt [mm] a_n<\frac{1}{2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
LG
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