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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Ich habe ein Problem beim lösen folgender Aufgabe :
Habe eine Folge = 1;5;13;25;41
Habe eine Regelmäßigkeit gefunden und zwar läuft es ja so ab :
+4 ; +8 ; +12; +16;
nun soll ich aber die Regelmäßigkeit als Rekursionsformel aufschreiben
sowie die explizite Darstellung nur leider weiss ich nicht wie ich das machen soll ?
Ich komme da nicht weiter.
ich hoffe mir kann jemand helfen ?
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Jazzy |
Hi!
Also:
[mm]
a_0=1 \;a_1=a_0+4 \; a_2=a_1+8\; a_3=a_2+12\;
bzw. \;a_0=1\; a_1=a_0+1\cdot 4 \;a_2=a_1+2 \cdot 4\; a_3=a_2+3 \cdot 4\;
allgemein:\; a_{n+1}=a_{n}+(n+1)\cdot 4 [/mm]
Alles klar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Magnia!
Für die Ermittlung der expliziten Folgenvorschrift kann man folgendermaßen vorgehen.
Man bestimmt sich zunächst die ersten Folgenglieder und ermittelt daraus die einzelnen Differenzen:
[mm] $a_k$ [/mm] : 1 5 13 25 41 ...
[mm] $\Delta a_k$ [/mm] : 4 8 12 16 ...
Hier haben wir nun noch keinen konstanten Differenzwert (da $4 [mm] \not=8 \not= [/mm] 12 [mm] \not= [/mm] 16 ...$ ). Daher bilden wir nun nochmals die entsprechenden Differenzen:
[mm] $a_k$ [/mm] : 1 5 13 25 41 ...
[mm] $\Delta a_k$ [/mm] : 4 8 12 16 ...
[mm] $\Delta^2 a_k$ [/mm] : 4 4 4 ...
Nun haben wir immer einen konstanten Wert für [mm] $\Delta^2 a_k$. [/mm] Da diese Konstanz im zweiten Schritt aufgetreten ist, ist unsere explizite Folgenvorschrift auch ein Polynom zweiter Ordnung:
[mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] b*k^2 [/mm] + c*k + d$
Durch die Vorgabe der ersten Folgenglider können wir nun ein Gleichungssystem bestimmen zur Ermittlung der Koeffizienten $b_$ , $c_$ und $d_$ :
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] b*1^2 [/mm] + c*1 + d \ = \ b + c + d \ = \ 1$
[mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] b*2^2 [/mm] + c*2 + d \ = \ 4b + 2c + d \ = \ 5$
[mm] $a_3 [/mm] \ = \ [mm] b*3^2 [/mm] + c*3 + d \ = \ 9b + 3c + d \ = \ 13$
Kannst Du nun Deine explizite Folgenvorschrift ermitteln?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
ich kann dir leider nicht folgen.
also die folge ist bekannt.
Sie startet mit a1 und erhöht (+) sich immer um einen wert X2
der Wert x2 erhöht sich immer pro schritt um 4 und startet mit dem wert x.
a1 = 1
x= 4*a1
x2 = x + 4
ich blicke irgend wie nicht mit den ganzen buchstaben von dir durch kannst du die bitte mal erleutern ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Magnia |
Danke jetzt verste ich das auch.
Trotzdem hab ich noch eine frage dazu :
Woher wissen wir, daß unsere Funktionsvorschrift durch ein Polynom 2. Ordnung darstellbar ist ?
Das war ja jetzt die explizite Darstellung doch wie stellt man die entdeckte Regelmäßigkeit als Rekursionsformel dar ?
oder ist damit folgendes gemeint :
[mm] a*1^2+b*1+c [/mm] = 1
usw... ?
damit bestimme ich ja immer das jeweilige folgenglied
also wäre das eher explizit
ich komme da leicht durcheinander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
> Woher wissen wir, daß unsere Funktionsvorschrift durch ein
> Polynom 2. Ordnung darstellbar ist ?
Weil bei der Differenzenbildung im 2. Schritt ein konstanter Wert herauskam (ich nannte das ja [mm] $\Delta^{\red{2}} a_k$ [/mm] ).
Wäre hier immer noch kein konstanter Wert mit [mm] $\Delta^2 a_k [/mm] \ = \ 4$ herausgekommen, sondern z.B. erst im 4. Schritt, so wäre es ein Polynom 4. Ordnung [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] A*k^4 [/mm] + [mm] B*k^3 [/mm] + [mm] C*k^2 [/mm] + D*k + E$ .
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Diese Vorgehensweise klappt natürlich nur bei ganz-rationalen Polynomen für die Folgenvorschrift!
> Das war ja jetzt die explizite Darstellung doch wie stellt
> man die entdeckte Regelmäßigkeit als Rekursionsformel dar ?
Siehe oben bei Jazzy's Antwort ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Sa 09.07.2005 | | Autor: | Magnia |
danke ich habe nun alles verstanden
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Diesen Wert habe ich [mm] $\Delta a_k$ [/mm] genannt mit: 4, 8, 12, 16, ...
