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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Do 17.01.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Man untersuche die Folge <an>n [mm] \in \IN [/mm] auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert, indem man zwei geeignete Folgen <bn>n [mm] \in \IN, [/mm] <cn>n [mm] \in \IN [/mm] mit bn [mm] \le [/mm] an [mm] \le [/mm] cn finde. |
Also ich hab mir das Beispiel mit einigen Werten durchgedacht.
Der untere Grenzwert müßte 0 sein, der obere Grenzwert 1.
Ich weiß allerdings nicht, was damit gemeint ist zwei geeignete Folgen bn und cn zu finden.
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Hallo BArbara,
wie wär's, wenn du uns noch sagst, wie denn die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] aussieht 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | babsbabs |
ups
an = [mm] \bruch{n^2 + 1} {n^3 + 1} [/mm] + [mm] \bruch{n^2 + 2} {n^3 + 2} [/mm] + ... + [mm] \bruch{n^2 + n} {n^3 + n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
stimmt Deine Folge so?
Ich meine, da steht:
[mm] $a_n:=\sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k}$
[/mm]
Und nun gilt:
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3+k} \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3}=\frac{1}{n^3}*\frac{n(n+1)}{2}$, [/mm] woraus folgt, dass
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3+k} \to [/mm] 0$ (bei $n [mm] \to \infty$).
[/mm]
(Das geht auch ohne Gaußsche Summenformel:
[mm] \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3+k} \le \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^3} \le \frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^n n=\frac{n^2}{n^3}=\frac{1}{n})
[/mm]
Naja, und
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k} \le \sum_{k=1}^n\frac{n^2}{n^3}=1$
[/mm]
sowie
[mm] $\sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k} \ge \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+n}=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+1}=\frac{n^2}{n^2+1}$
[/mm]
Damit solltest Du [mm] $a_n \to [/mm] 1$ herausbekommen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Fr 18.01.2008 | | Autor: | babsbabs |
das ist nur die ergänzung zur angabe
habe vergessen die folge in der angabe zu posten
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> das ist nur die ergänzung zur angabe
>
> habe vergessen die folge in der angabe zu posten
Hi,
ja, das war mir klar. Die Aufgabe ist im Prinzip komplett gelöst, wenn Du meinen Post liest und beachtest:
[mm] $a_n:=\sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k}=\sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k}+\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^3+k}$
[/mm]
Ich habe Dir erklärt, warum [mm] $\sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k} \to [/mm] 1$ und warum [mm] $\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^3+k} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] daraus folgt dann schon, dass [mm] $a_n \to [/mm] 1+0=1$
Natürlich kannst Du damit auch Folgen [mm] $(b_n)_n$ [/mm] und [mm] $(c_n)_n$ [/mm] mit [mm] $b_n \to [/mm] 1$ und [mm] $c_n \to [/mm] 1$ finden so, dass
[mm] $b_n \le a_n \le c_n$
[/mm]
Dazu müßtest Du einfach nur die Abschätzungen, die ich nun für die beiden Summen rechterhand separat getan habe, kombinieren, z.B. so
[mm] $\frac{n^2}{n^2+1}=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+1}= \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+n} \le \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k} \le \sum_{k=1}^n\frac{n^2+k}{n^3+k}=\sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k}+\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^3+k}$
[/mm]
[mm] $\le \sum_{k=1}^n\frac{n^2}{n^3}+\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^3}=n*\frac{n^2}{n^3} +n*\frac{n}{n^3}=1+\frac{1}{n}$
[/mm]
Also
[mm] $b_n:=\frac{n^2}{n^2+1}$ [/mm] und [mm] $c_n:=1+\frac{1}{n}$
[/mm]
tun's.
Gruß,
Marcel
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