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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 14.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Kann jemand helfen?
Zeigen Sie, dass jede Folge eine monotone Teilfolge ist.
Hinweis: Unterscheiden Sie beschränkte und unbeschränkte Folgen und beachten Sie, dass jede beschränkte Folge einen Häufungspunkt besitzt.
Wie zeige ich das?
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 So 14.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Nadja!
> Zeigen Sie, dass jede Folge eine monotone Teilfolge ist.
Meinst du: Zeigen Sie, dass jede folge eine monotone Teilfolge besitzt? Wenn ja, dann gebe ich dir hier mal einen Tip 
Nehmen wir an, die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] sei unbeschränkt. Dann gibt es zu jedem [mm] $n_0\in \IN$ [/mm] ein [mm] $n_1\in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $a_{n_0}
Nun nimm an, die Folge sei beschränkt. Ich lehne mich hier mal an den "Heuser" an, denn der dortige Beweis ist sehr schön wie ich finde - ich werde aber nur Ansätze geben, schließlich sollst du auch noch etwas tun :
Wir nennen [mm] $m\in \IN$ [/mm] eine Gipfelstelle von [mm] $(a_n)$, [/mm] wenn für alle $n>m, [mm] n\in \IN$ [/mm] die Ungleichung [mm] $a_n
(a) Es gibt unendlich viele Gipfelstellen
Die unendlich vielen Gipfelstellen seien mit [mm] $m_1,m_2,...$ [/mm] bezeichnet und es gelte [mm] $a_{m_1}>a_{m_2}>...$ [/mm] (dies ist wichtig, der Beweis funktioniert nicht, wenn du dir eine beliebige Gipfelstelle herausnimmst - warum?). Wie könnte nun die monotone Teilfolge aussehen? (Es steht fast schon da)
(b) Es gibt lediglich endlich viele Gipfelstellen
Seien [mm] $m_1,m_2,...,m_c$ [/mm] die endlich vielen Gipfelstellen mit [mm] $a_{m_1}>a_{m_2}>...>a_{m_c}$. [/mm] Es kann folglich keine weitere Gipfelstelle mehr geben. Was hat dies für Auswirkungen auf alle [mm] $n_0>m_c$? [/mm] Was darf nicht vorhanden sein, damit [mm] $n_0$ [/mm] keine Gipfelstelle ist? Was folgt daraus?
So, jetzt bist du dran!
Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo
> Wir nennen [mm]m\in \IN[/mm] eine Gipfelstelle von [mm](a_n)[/mm], wenn für
> alle [mm]n>m, n\in \IN[/mm] die Ungleichung [mm]a_n
Diese Definition verstehe ich nicht so ganz, bzw. ich kann mir nicht so wirklich gut etwas darunter vorstellen. Kannst du das vielleicht noch mal erklären und etwas anschaulicher beschreiben??? Das wäre super
Auf unserem Aufgabenblatt steht als Hinweis, "...und beachten sie, dass jede beschränkte Folge einen Häufugspunkt besitzt" Ich verstehe nicht was das mit deiner Erklärung von wegen Gipfelstelle zu tun hat???
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Yellowbird!
> Hallo
> > Wir nennen [mm]m\in \IN[/mm] eine Gipfelstelle von [mm](a_n)[/mm], wenn
> für
> > alle [mm]n>m, n\in \IN[/mm] die Ungleichung [mm]a_n
>
>
> Diese Definition verstehe ich nicht so ganz, bzw. ich kann
> mir nicht so wirklich gut etwas darunter vorstellen. Kannst
> du das vielleicht noch mal erklären und etwas anschaulicher
> beschreiben??? Das wäre super
Der Begriff Gipfelstelle ist mir auch neu, aber er bedeutet einfach: Ab einem bestimmten Folgenglied [mm] $a_m$ [/mm] sind alle weiteren Folgenglieder kleiner.
Zum Beispiel die Folge [mm] a_0=1,2,3,4,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,... [/mm] usw.
Hier wäre m=3 (also [mm] a_3=4) [/mm] die Gipelstelle, da alle folgenden Folgeglieder kleiner sind.
> Auf unserem Aufgabenblatt steht als Hinweis, "...und
> beachten sie, dass jede beschränkte Folge einen
> Häufugspunkt besitzt" Ich verstehe nicht was das mit deiner
> Erklärung von wegen Gipfelstelle zu tun hat???
> Danke im Voraus
Der Begriff Gipfelstelle ist natürlich nur eine Hilfskonstruktion, die auch nicht unbedingt verwendet werden muss.
Der ((Häufungspunkt)) könnte so aufgegriffen werden (die Idee ist natürlich noch zu präzisieren):
Es gibt also einen Häufungspunkt x, was bedeutet, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung von x unendliche viele Folgenglieder liegen.
So kann man schon mal bequem eine Teilfolge bauen, die gegen x konvergiert (das kannst du nicht direkt für deine Aufgabe benutzen, aber eine leicht modifizierte Version): Für das erste Folgenglied der Teilfolge nehme ich irgendeines in einer Umgebung von x.
Für das zweite Folgenglied nehme ich eines (der unendlich vielen) in einer kleineren Umgebung.
Das kann ich nun unendlich oft machen und erhalte so eine Teilfolge, die gegen x konvergiert.
Für deine Aufgabe mußt du es jetzt noch irgendwie hinbekommen, dass man eine solche Teilfolge auch mit einer Monotonieeigenschaft bauen kann. Überlege dir dazu vielleicht, dass es in jedem Schritt der kleiner werdenden Umgebungen von den unendlich vielen Folgenglieder innerhalb der Umgebung unendlich viele größer oder gleich x sein müssen oder unendlich viele kleiner oder gleich x sein müssen...
Viel Spaß,
Marc
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