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hi alle mit einander!
ich steh wieder mal kurz vorm durchdrehen. Weiß halt wieder mal nicht was ich machen soll.
Also folgende Aufgabe bereitet mir echte Schwierigkeiten:
Sei [mm] a_{0}:= [/mm] 0, [mm] a_{1}:=1 [/mm] und [mm] a_{n+1}:=4an-3a_{n-1} [/mm] für alle n Element aus [mm] \IN [/mm] Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass
[mm] a_{n}=\bruch{3^{n}-1}{2}
[/mm]
für alle n Element aus [mm] \IN_{0}
[/mm]
vorallem bin ich mir nicht sicher was die Induktionsvoraussetzung und Induktionsbedingung ist.
ist die IV: [mm] a_{n}=\bruch{3^{n}-1}{2} [/mm] oder ganz was anderes.
so wäre echt nett wenn mir wer helfen könnte;
lg Karin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Do 10.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir müssen hier eine erweiterte Induktionsvoraussetzung machen, also
[mm] $a_i [/mm] = [mm] \frac{3^i-1}{2}$ [/mm] für alle [mm] $i=1,2,\ldots,n$
[/mm]
voraussetzen und dann auf
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{3^{n+1}-1}{2}$
[/mm]
schließen.
Das geht so:
[mm] $a_{n+1}$
[/mm]
$= [mm] 4a_n [/mm] - [mm] 3a_{n-1}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} [/mm] 4 [mm] \cdot \frac{3^n-1}{2} [/mm] - 3 [mm] \cdot \frac{3^{n-1}-1}{2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{4 \cdot 3^n-4-3^n +3}{2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{3 \cdot 3^n -1}{2}$
[/mm]
$= [mm] \frac{3^{n+1}-1}{2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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