Folgeglieder < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich soll folgende Aufgaben lösen:
a) Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge mit positiven Folgegliedern [mm] a_{n}. [/mm] Gibt es eine Konstante c < 1 und ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \bruch{a_{n}+1}{a_{n}} \le [/mm] c für n [mm] \ge [/mm] N, so ist [mm] (a_{n}) [/mm] eine Nullfolge.
b) Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] und jede reelle Zahl b >1 ist [mm] \bruch{b^{k}}{b^{n}}_{n \ge1} [/mm] eine Nullfolge.
c) für jede reelle Zahl b ist [mm] \bruch{b^{n}}{n!}_{n \ge1} [/mm] eine Nullfolge.
d) für jede natürliche Zahl k ist ( [mm] \vektor{n \\ k} \bruch{1}{2^{n}}_{n \ge1} [/mm] eine Nullfolge.
Ich muss hier mit der Konvergenz rechnen, ein N in Abhängigkeit von [mm] \varepsilon [/mm] wählen usw., aber ich weiß einfach nicht wie ich anfangen soll.
Vielleicht kann mir jemand helfen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Di 29.11.2005 | | Autor: | saxneat |
Tach hab ne frage!
denke mal das +1 im Zähler gehört in den Index da ansonsten ein Widerspruch zu [mm] c\le [/mm] 1 entsteht
[mm] \bruch{a_{n}+1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{a_{n}}\ge [/mm] 1
weiß nich ob das auch mit nem Epsilonbeweis geht aber es reicht doch bestimmt aus wenn du Ausagen über späte [mm] a_{n} [/mm] machen kannst und diese durch zwei Nullfolgen einschließt.
da [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] c , c<1 ist [mm] a_{n} [/mm] streng monoton fallend
und wegen [mm] a_{n}>0 [/mm] ist die Existenz eines Grenzwertes gesichert.
Schaun wir mal was man über späte n sagen kann.
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a_{n+1}\le c*a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+2}}{c*a_{n}}\le\bruch{a_{n+2}}{a_{n+1}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow a_{n+2}\le c^{2}*a_{n}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{n+n}}{c^{n-1}*a_{n}}\le\bruch{a_{n+n}}{a_{n+n-1}}\le [/mm] c [mm] \Rightarrow 0
wenn du nun [mm] a_{n} [/mm] als Konstante auffässt oder durch z.B. die nächst größere natürliche Zahl nach oben Abschätzt erhätst du:
[mm] \Rightarrow 0
und da [mm] c^{n}*K\to [/mm] 0 [mm] a_{n} [/mm] auch eine Nullfolge
hoffe ich konnte helfen
MfG
saxneat
|
|
|
|
