Folge von Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ [/mm] eine Folge von Zufallsvariablen mit [mm] $0<\mathrm{Var}(X_n)\leq [/mm] c [mm] \in \mathbb [/mm] R)$ für die gilt:
$$
[mm] \rho_{ij}:=\frac{\mathrm{Cov}(X_i, X_j)} {\sqrt{\mathrm{Var}(X_i)\mathrm{Var}(X_j)}} \to [/mm] 0, [mm] \quad \text{falls} \left | i-j \right |\to \infty
[/mm]
$$
Es ist zu zeigen, dass die Folge [mm] $(X_n)_{n \in \mathbb N}$ [/mm] dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt, d.h.
$ [mm] \lim_{n\to \infty} [/mm] P [mm] \left( \left |\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n}(X_i - EX_i) \right |>\varepsilon \right)=0 \quad \forall [/mm] \ [mm] \varepsilon [/mm] >0 $
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Anmerkung: $E(X)$ bzw. $EX$ ist der Erwartungswert der Zufallsvaribale $X$. |
Hallo,
meine Idee ist, die Tschebyschow-Ungleichung zu verwenden. Dies ist möglich, denn die Varianz ist beschränkt für alle Zufallsvariablen und somit gilt:
$ [mm] P(\left |X_i-EX_i \right |\geq \varepsilon )\leq \frac{ \mathrm{Var}X_i }{\varepsilon ^2} [/mm] $ für alle [mm] $X_i$
[/mm]
Also gilt auch:
[mm] $\varepsilon [/mm] ^2 [mm] \cdot P(\left |X_i-EX_i \right |\geq \varepsilon )\leq [/mm] \ [mm] \mathrm{Var}X_i [/mm] $
Dann müsste ich irgendwie mit der Definition der Varianz arbeiten; sie lautet:
$ [mm] \mathrm{Var}(X)=E((X-EX)^2)=EX^2-(EX)^2 [/mm] $
und für die Kovarianz gilt:
$ [mm] \mathrm{Covar}(X,Y)= [/mm] E( [mm] (X-EX)\cdot(Y-EY) [/mm] ) =E(XY)-(EX)(EY) $
Jetzt weiß ich nicht, wie ich das noch umformen soll bzw. wie ich die Eigenschaft von [mm] $\rho_{ij} [/mm] $ nutze um den Limes herzuleiten.
Ich hoffe, ihr könnt mir ein wenig behilflich sein und
bedanke mich im Voraus.
Viele Grüße,
Kevin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 15.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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