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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo,
Ich muss zeigen, dass die Folge [mm] ((1+\bruch{1}{n})^{n})_{n\in\IN} [/mm] durch 2 nach unten und durch 4 nach oben beschränkt ist.
SOS.....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich muss zeigen, dass die Folge
> [mm]((1+\bruch{1}{n})^{n})_{n\in\IN}[/mm] durch 2 nach unten und
> durch 4 nach oben beschränkt ist.
> SOS.....
Tipp:
die untere Schranke 2 bekommst Du mit der Bernoullischen Ungleichung
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:41 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Also mein Beweis:
für x [mm] \ge [/mm] -1: [mm] (1+x){n}\ge [/mm] 1 + nx
Setze [mm] x:=\bruch{1}{n} [/mm] ein
[mm] \bruch{1}{n}\ge [/mm] -1
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n} \ge [/mm] 1 + n* [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
(1 + [mm] \bruch{1}{n})^{n}\ge [/mm] 2
IA: n=1 klar
IV:n+1:
(1 + [mm] \bruch{1}{n-1})^{n} [/mm] > (1 [mm] +\bruch{1}{n} )^{n+1} [/mm] für mind. ein [mm] n\in \IN
[/mm]
IB:
[mm] (1+\bruch{1}{(n+1)-1} )^{n+1}>(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n+1})^{(n+1)+1}
[/mm]
also:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1}> (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}
[/mm]
Bin ich damit fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Juliia!
> Also mein Beweis:
> für x [mm]\ge[/mm] -1: [mm](1+x){n}\ge[/mm] 1 + nx
> Setze [mm]x:=\bruch{1}{n}[/mm] ein
> [mm]\bruch{1}{n}\ge[/mm] -1
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n} \ge[/mm] 1 + n* [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> (1 + [mm]\bruch{1}{n})^{n}\ge[/mm] 2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber was berechnest Du nun bzw. was willst Du nun beweisen?
> IA: n=1 klar
> IV:n+1:
> (1 + [mm]\bruch{1}{n-1})^{n}[/mm] > (1 [mm]+\bruch{1}{n} )^{n+1}[/mm] für
> mind. ein [mm]n\in \IN[/mm]
> IB:
> [mm](1+\bruch{1}{(n+1)-1} )^{n+1}>(1[/mm] + [mm]\bruch{1}{n+1})^{(n+1)+1}[/mm]
> also:
> [mm](1+\bruch{1}{n})^{n+1}> (1+\bruch{1}{n+1})^{n+2}[/mm]
> Bin ich damit fertig?
Das kann man erst sagen, wenn Du uns verrätst, womit ...
Gruß
Loddar
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