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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Folge [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*k [/mm] |
Hallo!
Zuerst habe ich einige Summen berechnet, um mir ein Bild zu machen.
1) Folge ist alternierend, also ein Wert positiv und der nächste ist negativ.
2) Bei geraden n
3) Man sollte zwischen n gerade und n ungerade unterscheiden.
FÜr n ungerade hab ich mir überlegt:
n=1 ist -1, n=3 ist -2 und n=5 ist -3, demnach würde sich folgende Formel angeben lassen
[mm] =\bruch{-(n+1)}{2}
[/mm]
Nun möchte ich dies mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen.
IA: n=1 [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k*k=-1=\bruch{-(1+1)}{2} [/mm] stimmt
IS: Folgendes muss gelten
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k*k=\bruch{-(n+2)}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k*k=\summe_{k=1}^{n} (-1)^k*k [/mm] + [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1)
[/mm]
Doch da n ungerade ist, ist n+1 gerade, also gilt
[mm] (-1)^{(n+1)}(n+1)=(n+1)
[/mm]
=(mit IV) [mm] \bruch{-(n+1)}{2} [/mm] + (n+1) [mm] =\bruch{(n+1)}{2}
[/mm]
Doch damit die Behauptung falsch.
Wo liegt mein Fehler? Bzw. ist die Formel falsch, also falscher Ansatz oder was ist sonst falsch?
Edit: Habe meinen Fehler selbst entdeckt.
Für n gerade habe ich die Formel n/2 gefunden, doch komme da auch nicht auf das richtige Ergebnis im Induktionsbeweis.
So, grade, wie ich den Beitrag abschicken wollte, hab ich meinen Fehler gesehen: Ich habe zum Beispiel bei n gerade bei der Summenberechnung auch ungerade n's zugelassen. Das ist der Fehler.
So, habe nun nochmal die richtigen Werte für n gerade und ungerade gerechnet und eine einheitliche Formel lässt sich nicht erkennen.
Ist der Ansatz richtig, dass man hier eine rekursive Folge definieren muss, denn wenn man die Summe bis n lassen lässt, dann kann man sie als Summanden schreiben(-n+das Ergebnis von der Summe, die bis (n-1) läuft).
Wer kann mir helfen? Kann man bei der Aufgabe überhaupt Induktion anwenden?
Ich bitte um Hilfe
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Huhu,
deine Idee ist gut, du hast sie nur noch nicht richtig zusammengefriemelt.
Du versuchst EINE Formel für beliebige n zu finden, das wird dir aber nicht gelingen.
Deine zwei verschiedenen Formeln sind auch korrekt, die Lösung hingeschrieben wäre:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k [/mm] = [mm] \begin{cases} \ldots, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \ldots, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Und dann musst du natürlich auch im IS eine Fallunterscheidung machen und vorallem einen IA für 2 verschiedene n's !
MFG,
Gono.
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Hallo!
Ich bin verwirrt. Also sind meine Formeln doch richtig?
Ok, ich versuchs nochmal
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{-(n+1)}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] $
Induktionsanfang
Für n ungerade
$ [mm] \summe_{k=1}^{1} (-1)^k\cdot{}k=-1=\bruch{-(1+1)}{2} [/mm] $
Für n gerade
$ [mm] \summe_{k=1}^{2} (-1)^k\cdot{}k=1=\bruch{2}{2} [/mm] $
Induktionsschritt
Für n ungerade
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\bruch{-(n+2)}{2} [/mm] $
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k [/mm] $ + $ [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1) [/mm] $
=(IV) [mm] \bruch{-(n+1)}{2} [/mm] + [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1)
[/mm]
Hier komm ich nicht weiter.
Ich muss wissen, was [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1) [/mm] hier bedeutet. Also ich würd ja sagen, da n ungerade ist, ist n+1 gerade, also fällt das [mm] (-1)^{n+1} [/mm] weg bzw. wird 1 und dann bleibt n+1. Doch damit komm ich nicht auf das richtige Ergebnis.
Wer kann mir helfen und sagen ,wie ich weiterechne?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 15.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Ich bin verwirrt. Also sind meine Formeln doch richtig?
> Ok, ich versuchs nochmal
> [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k = \begin{cases} \bruch{-(n+1)}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> Induktionsanfang
> Für n ungerade
> [mm]\summe_{k=1}^{1} (-1)^k\cdot{}k=-1=\bruch{-(1+1)}{2}[/mm]
>
> Für n gerade
> [mm]\summe_{k=1}^{2} (-1)^k\cdot{}k=1=\bruch{2}{2}[/mm]
>
> Induktionsschritt
>
> Für n ungerade
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\bruch{-(n+2)}{2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k[/mm]
> + [mm](-1)^{(n+1)}(n+1)[/mm]
> =(IV) [mm]\bruch{-(n+1)}{2}[/mm] + [mm](-1)^{(n+1)}(n+1)[/mm]
> Hier komm ich nicht weiter.
> Ich muss wissen, was [mm](-1)^{(n+1)}(n+1)[/mm] hier bedeutet. Also
> ich würd ja sagen, da n ungerade ist, ist n+1 gerade, also
> fällt das [mm](-1)^{n+1}[/mm] weg bzw. wird 1 und dann bleibt n+1.
> Doch damit komm ich nicht auf das richtige Ergebnis.
>
> Wer kann mir helfen und sagen ,wie ich weiterechne?
>
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
Der Schluss von der IV zu IB funktioniert hier NICHT im Schluss, dass, wenn die Formel für n gilt, sie auch für n+1 gelten muss.
Du musst vielmehr zeigen: Gilt die Formel für n, dann gilt sie auch für n+2.
Die bisherige Summe wird also fortgesetzt mit -(n+1)+(n+2)
bzw. mit +(n+1)-(n+2), je nachdem welchen der beiden möglichen Fälle du gerade betrachtest.
Gruß Abakus
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Ja klar, ich sehe ich es.
Ich möchte beweisen, dass es für n ungerade gilt und wenn ich dann n+1 beweisen möchte, dann ist n ja gerade, also muss man n+2 betrachten, oder?
Ok, jetzt hab ich auch das richtige Ergebnis raus.
Kann das wer trotzdem kontrollieren?
Induktionsschritt für n ungerade n-> n+2
zu zeigen gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n+2}(-1)^{k}*k=\bruch{-(n+3)}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n+2}(-1)^{k}*k=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{k}*k +(-1)^{n+1}(n+1) [/mm] + [mm] (-1)^{n+2}(n+2)
[/mm]
[mm] (-1)^{n+1}=1, [/mm] weil n+1 gerade ist
[mm] (-1)^{n+2}=-1, [/mm] weil n+2 ungerade ist
=(mit IV) [mm] \bruch{-(n+1)}{2} [/mm] +(n+1) -(n+2)
[mm] =\bruch{-n-1+2n+2-2n-4}{2}
[/mm]
[mm] =\bruch{-(n+3)}{2}
[/mm]
Bewiesen.
Für n gerade geht dann ja dann analog.
Auf jeden Fall schonmal vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz,
> Ja klar, ich sehe ich es.
> Ich möchte beweisen, dass es für n ungerade gilt und
> wenn ich dann n+1 beweisen möchte, dann ist n ja gerade,
> also muss man n+2 betrachten, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo!
>
> Ok, jetzt hab ich auch das richtige Ergebnis raus.
>
> Kann das wer trotzdem kontrollieren?
>
> Induktionsschritt für n ungerade n-> n+2
> zu zeigen gilt:
> [mm]\summe_{i=1}^{n+2}(-1)^{k}*k=\bruch{-(n+3)}{2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+2}(-1)^{k}*k=\summe_{i=1}^{n}(-1)^{k}*k +(-1)^{n+1}(n+1)[/mm] + [mm](-1)^{n+2}(n+2)[/mm]
>
> [mm](-1)^{n+1}=1,[/mm] weil n+1 gerade ist
> [mm](-1)^{n+2}=-1,[/mm] weil n+2 ungerade ist
>
> =(mit IV) [mm]\bruch{-(n+1)}{2}[/mm] +(n+1) -(n+2)
> [mm]=\bruch{-n-1+2n+2-2n-4}{2}[/mm]
> [mm]=\bruch{-(n+3)}{2}[/mm]
> Bewiesen.
Jo, sieht gut aus!
> Für n gerade geht dann ja dann analog.
So isses!
>
> Auf jeden Fall schonmal vielen Dank
>
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
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Dankeschön für die schnelle Überprüfung
TheBozz-mismo
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Huhu,
entweder du folgst dem Tip von Abakus, oder du korrigierst deinen Fehler hier:
> Für n ungerade
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\bruch{-(n+2)}{2} [/mm] $
Hier wäre gut gewesen, ein "z.z." davor zu schreiben.....
> $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (-1)^k\cdot{}k=\summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}k [/mm] $ + $ [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1) [/mm] $
> =(IV) $ [mm] \bruch{-(n+1)}{2} [/mm] $ + $ [mm] (-1)^{(n+1)}(n+1) [/mm] $
Hier setzt du die IV falsch ein. n ist doch ungerade, also verwende doch auch die Formel für ungerade n und nicht die für gerade n
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Fr 15.10.2010 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo TheBozz-mismo,
es gibt eine weitere elegante Möglichkeit, die darin besteht, Paare aufeinanderfolgender Summenglieder in der Summe zusammenzufassen und die Formeln ohne vollständige Induktion direkt abzulesen. Siehst Du wie?
LG mathfunnel
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Hallo!
Deine Überlegung hatte ich auch schon versucht, indem man Paara zusammenfasst, aber bin irgendwie nicht weitergekommen. Hatte versucht, Summenglieder wegzustreichen, die sich gegenseitig aufheben( also +4+6 mit -3 -7), aber brachte nichts.
Wenn ich deine Idee für n=8 betrachte:
[mm] \summe_{k=1}^{8}(-1)^k*k= \underbrace{-1+2}_{=1}\underbrace{-3+4}_{=1}\underbrace{-5+6}_{=1}\underbrace{-7+8}_{=1}
[/mm]
Hast du das so gemeint?
Wenn ja, kann man daraus einfach eine Formel ableiten, ohne sie zu beweisen?
Lieben gruß
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
ja, so habe ich es gemeint.
Falls $n>1$ gerade:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^kk [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [/mm] (2k - [mm] (2(k-1)+1))=\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}} [/mm] 1 = [mm] \frac{n}{2}$ [/mm]
Falls [mm] $n\geq1$ [/mm] ungerade:
[mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^kk [/mm] = [mm] (\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} [/mm] 2k - (2(k-1)+1)) - n = [mm] (\sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} [/mm] 1) - n = [mm] \frac{n-1}{2} [/mm] - n = [mm] -\frac{n+1}{2}$.
[/mm]
Das ist natürlich auch ein Beweis!
LG mathfunnel
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Vielen Dank. Ich finde es super, wenn man zu einer Aufgabe verschiedene Lösungsmöglichkeiten kennt.
Gruß
TheBozz-mismo
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