Folge, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die folgende Folge konvergent? Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an. |
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{1-n^3}+n$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{n^3*(\bruch{1}{n^3}-1)}+n$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n^{\bruch{3}{3}}*\wurzel[3]{\bruch{1}{n^3}-1}+n$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} n*\wurzel[3]{\bruch{1}{n^3}-1}+n$
[/mm]
[mm] $\infty*\wurzel[3]{\bruch{1}{\infty}-1}+\infty$
[/mm]
[mm] $\infty*\wurzel[3]{0-1}+\infty$
[/mm]
[mm] $\infty*-1+\infty$
[/mm]
[mm] $-\infty+\infty$
[/mm]
[mm] $\red{= 0 ???}$
[/mm]
Stimmt das so?
Danke
Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Mi 06.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Also d [mm] -\infty+\infty=0 [/mm] ist im allgemeinen nicht richtig denn dann müsste
[mm] n^2-n [/mm] da [mm] n^2 [/mm] und n gegen [mm] \infty [/mm] streben ebenfalls 0 sein...
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{1-n^3}+n[/mm]
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n- \wurzel[3]{n^3-1}[/mm]
nun wird dieser Ausdruck mit [mm] n^2+n*\wurzel[3]{n^3-1}+(\wurzel[3]{n^3-1})^2
[/mm]
erweitert und wir haben:
[mm] \bruch{n^3-(n^3-1)}{n^2+n*\wurzel[3]{n^3-1}+(\wurzel[3]{n^3-1})^2} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{n^2+n*\wurzel[3]{n^3-1}+(\wurzel[3]{n^3-1})^2}
[/mm]
nun strebt der Nenner dieses Bruchs gegen unendlich und daher das gesamte gegen 0
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