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Hi,
mal wieder soll ich sehen ob die Folge Konvergiert, wenn ja welchen Grenzwert sie besitzt:
[mm] $a_i=\bruch{i}{(i+1)^3}$
[/mm]
[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i}{i^3+9i^2+27i+27}$
[/mm]
[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{i*\bruch{1}{i}}{i^3\bruch{1}{i}+9i^2\bruch{1}{i}+27i\bruch{1}{i}+27\bruch{1}{i}}$
[/mm]
[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty} \bruch{1}{i^2+9i+27+27*\bruch{1}{i}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\red{\infty+\infty+27+0}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{\red{\infty}}$
[/mm]
$=0$
Die Folge ist eine Nullfolge
Danke Grüße Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thomas!
Dein Ergebnis ist richtig! Aber wie bereits in einem anderen Thread angedeutet, solltest Du jeweils die höchste Potenz ausklammern. Dann bist Du auch schneller am Ziel:
[mm] $\limes_{i\rightarrow\infty}a_i [/mm] \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i}{(i+1)^3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i}{\left[i*\left(1+\bruch{1}{i}\right)\right]^3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i^3*\bruch{1}{i^2}}{i^3*\left(1+\bruch{1}{i}\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{i^2}}{\left(1+\bruch{1}{i}\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{\left(1+0\right)^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{1^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{1} [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Mo 14.05.2007 | | Autor: | KnockDown |
> Hallo Thomas!
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> Dein Ergebnis ist richtig! Aber wie bereits in einem
> anderen Thread angedeutet, solltest Du jeweils die höchste
> Potenz ausklammern. Dann bist Du auch schneller am Ziel:
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> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}a_i \ = \ \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i}{(i+1)^3} \ = \ \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i}{\left[i*\left(1+\bruch{1}{i}\right)\right]^3} \ = \ \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{i^3*\bruch{1}{i^2}}{i^3*\left(1+\bruch{1}{i}\right)^3} \ = \ \limes_{i\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{i^2}}{\left(1+\bruch{1}{i}\right)^3} \ = \ \bruch{0}{\left(1+0\right)^3} \ = \ \bruch{0}{1^3} \ = \ \bruch{0}{1} \ = \ 0[/mm]
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> Gruß
> Loddar
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Hi Loddar,
danke für das Aufzeigen des kürzeren Weges und für das Korrekturlesen.
Grüße Thomas
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