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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Do 05.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] sei definiert durch
[mm] a_{1} [/mm] := 2
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{a_{1} + 2a_{2} + ... + na_{n}}
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] ist monoton fallen und beschränkt.
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0. |
Hallo,
ich hoffe ihr hattet alle ein paar schöne Weihnachtsfeiertage und seid
gut ins NEUE JAHR gerutscht... An alle also, ein gesundes neues Jahr...
Eigentlich erübrigt sich die Aufgabe... es ist alles logisch... nur beim
Beweis bei mir scheitert es wie so oft...
Ich hab mal angefangen:
Ist eine reelle Folge monoton fallend, dann ist sie nach unten beschränkt und konvergiert gegen das Infimum:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] inf{a_{n}| n \in \IN}
[/mm]
Es sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 vorgegeben.
Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] , so dass für
i = [mm] inf{a_{n}| n \in \IN}
[/mm]
(wenn jetzt nach dem Supremum gesucht wäre dann würde man
jetzt schreiben s - [mm] a_{N} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und dann so weiter)
Leider komme ich schon hier durcheinander...
ich müsste doch jetzt so schreiben: i - [mm] a_{N} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ???
Wenn mir hierzu jemand diesen einen kleinen Schritt aufschreiben würde,
dann könnte ich versuchen damit weiterzurechnen.
Wenn [mm] a_{1} [/mm] = 2 ist die anderen Folgeglieder sind dann kleiner als 2, wegen Formel für Folgenglieder (Ausgangssituation), dann ist doch meine
Folge nach oben wg. der 2 beschränkt und unten 0 (die 0 wird nie erreicht).
Ist du Schlussfolgerung richtig?
Vielen Dank im Voraus.
Gruß Doreen.
Und vielen Dank an alle, die mir bis jetzt immer fleißig geholfen haben.
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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Ich würde folgenden Vorschlag machen: Löse die Rekursionformel nach dem komplizierten Nenner auf (Formel (I)). Ersetze in dieser Formel [mm]n[/mm] durch [mm]n-1[/mm] (Formel (II)). Subtrahiere (II) von (I). Du erhältst eine viel übersichtlichere Rekursionsformel, die du z.B. nach [mm]a_{n+1}[/mm] auflösen kannst. Überlege, ab welchem Index die Formel gilt. Und übrigens läßt die Berechnung der ersten paar Folgenglieder sofort eine explizite Darstellung erraten ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo und Guten Morgen an alle.
Vielen Dank Leopold für Deine schnelle Antwort... Aber.... irgendwie komme ich trotzdem nicht weiter... Der Tipp mit den Folgenglieder berechnen,
der war schon mal super... aber auf Dein Lösungswegvorschlag wäre ich gar nicht gekommen und ich habe es versucht um die andere Rekursionsformel zu erhalten... aber ein Aufschluss darauf finde ich leider nicht...
Wäre daher jemand so lieb, und zeigt mir einen anderen Weg?
Vielen Dank im Voraus
Doreen
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Hallo.
Also was Leopold vorgeschlagen hat, ist:
[mm] $a_{n+1}=\frac{1}{a_1+2a_2+\dots+na_n}$
[/mm]
[mm] $\gdw a_1+2a_2+\dots+na_n [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{n+1}}$ [/mm] (I)
damit ist aber auch
[mm] $a_1+2a_2+\dots+(n-1)a_{n-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{n}}$ [/mm] (II)
so, und jetzt (II)-(I):
[mm] $na_n=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}$
[/mm]
[mm] $\gdw a_{n+1}=\frac{1}{na_n+\frac{1}{a_n}}$.
[/mm]
Vielleicht hilft Dir das schon weiter...
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